叶卢庆的博客

一个小球在弦上的微振动

(本文是我的本科毕业论文的第一小节,现整理出来)
图1
如图1.在没有重力的地方,水平地悬挂着一条有弹性无重量的柔软紧绷细弦.弦的两端固定,弦的正中央系着一个小球$A_0$.以弦所在的直线为小球的 $x$轴,$x$轴的正向往右.以垂直于$x$轴的某条直线为$y$轴,$y$轴的正向往上,且$y$轴上所有点的$y$坐标为$0$.

小球进行无能量损耗的微小竖直振动.由于振动是微小的,因此弦的长度可以认为不变,因此根据Hooke定律,弦的张力也可以认为不变,始终为$T$(实际上即使弦的长度有变化,也只是关于下面即将提到的$\alpha$的高阶无穷小,也是关于小球竖直振动距离的高阶无穷小,因此不如不考虑).设小球偏离了平衡位置,其$y$坐标为$y_{A_0}$,则小球受到的弦的竖直方向的张力大小为$2T\sin\alpha$,其中$\alpha$为小球偏离平衡位置时弦与水平线的夹角.由于$\alpha$很接近于$0$,因此$\sin\alpha$和$\tan\alpha$只相差关于$\alpha$的高阶无穷小量,可以认为
$$
2T\sin\alpha\approx 2T\tan\alpha=4T\cfrac{y_{A_0}}{L},
$$
其中$L$为弦的长度.由于弦对小球的作用力始终与小球相对于平衡位置的位移方向相反,因此可以认为作用在小球上的力为$F=-4\cfrac{T}{L}y_{A_0}.$由Newton第二运动定律,
$$
F=my_{A_0}’’(t),
$$
其中$m$为小球质量,$t$增大表明时间在流逝.于是,
$$
my’’_{A_0}(t)=-4\cfrac{T}{L}y_{A_0}(t).
$$
我们面对的是一个微分方程
\begin{equation}\label{eq:1}
y’’_{A_0}(t)=-c^2y_{A_0}(t),
\end{equation}
其中$c^2=\cfrac{4T}{mL}.$下面我们来解微分方程\eqref{eq:1}.微分方程\eqref{eq:1}等价于微分方程组
\begin{equation}\label{eq:2}
\begin{cases}
y’_{A_0}(t)=-cK(t),\\
K’(t)=cy_{A_0}(t)
\end{cases},
\end{equation}
其中$K(t)$是引入的辅助实函数.而微分方程组(2)等价于复微分方程
\begin{equation}\label{eq:3}
\cfrac{dP}{dt}=icP,
\end{equation}
其中$i$是虚数单位,且复函数$P(t)=y_{A_0}(t)+iK(t)$.而复微分方程(3)的解的形式只能为
$$
P(t)=Ae^{ict},
$$
其中$A\in\mathbf{C}$为任意复数.这是因为,对于复微分方程(3)的任意解$P(t)$,考虑函数$g(t)=P(t)e^{-ict}$,则
$$
g’(t)=P’(t)e^{-ict}-icP(t)e^{-ict}=icP(t)e^{-ict}-icP(t)e^{-ict}=0.
$$
可见$g(t)$为常数$A$,因此$P(t)=Ae^{ict}$.然后仅取复函数$P(t)$的实部便可得
\begin{equation}\label{eq:4}
y_{A_0}(t)=|A|\cos (ct+\phi),
\end{equation}
其中$|A|$是复数$A$的模.$\phi$为$A$的辐角主值,与小球的初始位置有关.可见,小球的竖直位移关于时间的函数是一个三角函数,说明小球在往复振动.且小球的振动周期为$\cfrac{2\pi}{|c|}=\pi \sqrt{\cfrac{mL}{T}}$,频率为周期的倒数$\cfrac{1}{\pi}\sqrt{\cfrac{T}{mL}}$.我们发现小球的振动周期与频率和小球初始运动速度无关.和小球的初始速度大小相关的是小球的振幅$|A|$,与小球的初始速度方向相关的是$c$的符号.

我们称小球在做简谐振动.上面的推导只不过是在表明简谐振动是圆周运动的一个侧面.