叶卢庆的博客

直观理解正交矩阵Q的公式QQ^T=I

我们知道,若$Q$是一个$n$阶正交方阵,则有$Q^TQ=I$.这是正交矩阵的定义.由此定义,可得$Q(Q^TQ)=Q$,即
\begin{equation}\label{eq:1}(QQ^T)Q=Q.\end{equation}
在方程\eqref{eq:1}的两边同时右乘$Q^{-1}$,可得$(QQ^T)QQ^{-1}=QQ^{-1}=I$,即$QQ^T=I$.这样我们就用代数方法简洁地说明了$QQ^T=I$.

下面我们用几何观点更好地理解为什么$QQ^T=I$.这里主要是受到了Gilbert Strang的《线性代数及其应用》中文第二版练习3.3.3的启发.记$Q=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix},
$且记$P_i=
\begin{pmatrix}
a_{i1}\\
a_{i2}\\
\vdots\\
a_{in}
\end{pmatrix}
$.则
$$
QQ^{T}=P_1P_1^T+P_2P_2^T+\cdots+P_nP_n^T.
$$
对于任意一个$n$维向量$x=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
$来说,
$$
QQ^{T}x=P_1P_1^Tx+P_2P_2^Tx+\cdots+P_nP_n^Tx.
$$
而对于任意$1\leq i\leq n$来说,$P_iP_i^Tx$的意思是向量$x$在单位向量$P_i$上的射影向量.由于向量$P_1,P_2,\cdots,P_n$是互相正交的单位向量,它们张成$\mathbf{R}^n$,因此$x$在$P_1,P_2,\cdots,P_n$上的投影向量的和必为$x$本身,即对于任意$x\in \mathbf{R}^{n}$,
$$
QQ^Tx=P_1P_1^Tx+P_2P_2^Tx+\cdots+P_nP_n^Tx=x.
$$
因此$QQ^T$只能是单位矩阵$I$.