叶卢庆的博客

证明Ker A^TA=Ker A

在博文$A^TA$的秩等于$A$的秩中,我们利用初等变换的方法,证明了$A^TA$的秩等于$A$的秩.在这篇博文里,我们说明为什么矩阵$A^TA$的化零空间等于矩阵$A$的化零空间.

证明:设矩阵$A$是$m\times n$矩阵.则矩阵$A^T$是$n\times m$矩阵.所以$A^TA$是$n\times n$矩阵.记矩阵$A$的第$i(1\leq i\leq n)$个列向量为$P_{i}=\begin{pmatrix}
a_{1i}\\
a_{2i}\\
\vdots\\
a_{mi}
\end{pmatrix}$,矩阵$A^TA$的第$j(1\leq j\leq n)$个列向量为$Q_j=
\begin{pmatrix}
b_{1j}\\
b_{2j}\\
\vdots\\
b_{nj}
\end{pmatrix}
$.则由矩阵乘法的定义,$b_{ki}=P_k^TP_i$.设对于实数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$来说,使得
$$
\lambda_1Q_1+\lambda_2Q_2+\cdots+\lambda_nQ_n=\mathbf{0},
$$
则所有满足上式的$(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$形成矩阵$A^{T}A$的化零空间.上式可化为
$$
\lambda_1
\begin{pmatrix}
P_1^TP_1\\
P_2^TP_1\\
\vdots\\
P_n^TP_1
\end{pmatrix}+\lambda_2
\begin{pmatrix}
P_1^TP_2\\
P_2^TP_2\\
\vdots\\
P_n^TP_2
\end{pmatrix}+\cdots+\lambda_n
\begin{pmatrix}
P_1^TP_n\\
P_2^TP_n\\
\vdots\\
P_n^TP_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix},
$$

$$
\begin{cases}
P_1^T(\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n)=0\\
P_2^T(\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n)=0\\
\vdots\\
P_n^T(\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n)=0\\
\end{cases}.
$$
可见,向量$\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n$与矩阵$A$的列空间正交,又因为向量$\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n$属于矩阵$A$的列空间,因此只能有
$$
\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n=\mathbf{0}.
$$
因此向量$(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$也属于矩阵$A$的化零空间.所以$\ker A^TA\subset \ker A$.且易得$\ker A\subset \ker A^TA$,因此$\ker A^TA=\ker A$.