叶卢庆的博客

三面角的两个面角之和大于第三个面角

在这篇博文里,我们证明,三面角的任意两个面角之和大于第三个面角.设有不共面的三条射线$PD,PE,PF$形成以$P$为顶点的三面角.

(1) 当三面角至少有两个面角是锐角时,只用证明这两个锐角之和大于剩下的那个面角即可.不妨设$\angle DPE,\angle FPE$是锐角.在这种情况下,过点$E$作平面$PDF$的垂线,设垂足为$E’$.$E’$不会与点$P$重合,否则$\angle DPE=\angle FPE=90^{\circ}$,矛盾.

当点$E’$不在射线$PD,PF$上时,过点$E’$分别作直线$PD,PF$的垂线,垂足依次记为$M,N$.因为$EE’\perp\mbox{平面}PDF$,所以$EE’\perp PD$.
$$
\begin{cases}
PD\perp EE’\\
PD\perp E’M\\
EE’\cap E’M=E’
\end{cases}\Rightarrow{PD}\perp\mbox{面}EE’M\Rightarrow{PD}\perp EM.
$$
由于$PD\perp EM$,且$\angle DPE$是锐角,因此点$M$位于射线$PD$上.同理,点$N$位于射线$PF$上.且点$M$不与点$P$重合,否则$\angle DPE=90^{\circ}$.同理,点$N$不与点$P$重合.如图1所示.此时,且$E’$只能位于射线$PD$和$PF$夹成的区域内,即,存在正实数$x,y$,使得$\overrightarrow{PE’}=x\overrightarrow{PD}+y\overrightarrow{PF}$.
图1
$$
\cos\angle DPE=\cos\angle MPE=\frac{PM}{PE}<\frac{PM}{PE’}=\cos\angle
MPE’=\cos\angle DPE’.
$$
因此$\angle DPE>\angle DPE’$.同理,$\angle FPE>\angle FPE’$.因此,
\begin{equation}
\label{eq:1}
\angle DPE+\angle FPE>\angle DPE’+\angle FPE’=\angle FPD.
\end{equation}
当点$E’$在射线$PF$上时,只用过点$E’$作$PD$的垂线,设垂足为$M$.再重复刚才的论证可得$\angle DPE>\angle DPE’=\angle DPF$.因此自然也有不等式\eqref{eq:1}成立.同理,当点$E’$在射线$PD$上时,不等式\eqref{eq:1}也成立.综上,当$\angle DPE,\angle EPF,\angle FPD$中至少有两个是锐角时,不等式\eqref{eq:1}成立.

(2) 当三面角三个面角都不是锐角时,任意两个面角之和达到或超过了平角,因此自然会大于剩下的那个面角.

(3) 当三面角有两个面角都不是锐角,一个面角是锐角时,不妨设$\angle DPE,\angle FPE$不是锐角,$\angle DPF$是锐角.此时,反向延长射线$PE$,在射线$PE$的反向延长线上取点$G$.如图2所示.
图2
则射线$PG,PD,PF$形成的三面角的三个面角中,或者至少有两个面角是锐角,或者有两个面角是直角.在后面这种情况中,显然其中两个面角之和大于剩下的面角,而在前面这种情况中,
$$
\angle DPG+\angle DPF>\angle FPG,
$$

$$
(180^{\circ}-\angle DPE)+\angle DPF>180^{\circ}-\angle EPF,
$$

$$
\angle EPF+\angle DPF>\angle DPE.
$$
同理可得
$$
\angle DPE+\angle DPF>\angle EPF.
$$

综上所述,对于所有三面角来说,它的任意两个面角之和都大于剩下的面角.