叶卢庆的博客

使用立体几何的方法证明三角形三条高线交于一点

在人教版必修2第2.3.1节的课后习题中看到这么一道题:

题目:过$\triangle ABC$所在平面$\alpha$外一点$P$,作$PO\perp \alpha$,垂足为$O$,连接$PA,PB,PC$.若$PA\perp PB,PB\perp PC,PC\perp PA$,则点$O$是$\triangle ABC$的__心.

答案是垂心.这道题启发我,可以用立体几何的方法证明三角形的三条高线交于一点.证明过程如下.首先,直角三角形的三条高显然交于一点,因此我们只证明锐角三角形和钝角三角形的情形.

在空间直角坐标系的$x,y,z$坐标轴的正方向各取一点$A,B,C$.设点$A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$,其中$a,b,c>0$.$\triangle ABC$可以是任意形状的锐角三角形.这是因为,$\triangle ABC$的边长分别为$\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{b^2+c^2},\sqrt{c^2+a^2}$.对于任意的满足条件
$$
\begin{cases}
p^2+q^2 > r^2\\
q^2+r^2 > p^2\\
r^2+p^2 > q^2
\end{cases}
$$
的正实数$p,q,r$,关于$a,b,c$的方程组
$$
\begin{cases}
\sqrt{a^2+b^2}=p\\
\sqrt{b^2+c^2}=q\\
\sqrt{c^2+a^2}=r
\end{cases}
$$
都有解,解是
$$
a=\sqrt{\frac{p^2+r^2-q^2}{2}},b=\sqrt{\frac{p^2+q^2-r^2}{2}} ,c=\sqrt{\frac{q^2+r^2-p^2}{2}}.
$$
因此$\triangle ABC$的三边可以组成任意形状的锐角三角形.这意味着,任给一个锐角三角形$DEF$,我们都可以把它的三个顶点分别放置在$x,y,z$坐标轴的正方向上去.

然后,过原点$O$作平面$DEF$的垂线,设垂足为$H$.再连接$EH,DH,FH$.如图1所示.由于$OH\perp$面$DEF$,因此$OH\perp DF$.
$$
\begin{cases}
DF\perp OH\\
DF\perp OE\\
OE\cap OH=O
\end{cases}\Rightarrow DF\perp \mbox{面}OEH\Rightarrow DF\perp EH.
$$
可见,$EH$与$DF$边上的高重合.同理,$DH$与$EF$边上的高重合,$DE$与$HF$边上的高重合.因此任意锐角三角形$DEF$的三条高线交于一点$H$.
图1

而当三角形是钝角三角形时,如图2所示,$\triangle MNP$是钝角三角形,其中角$P$是钝角.则过点$M$作直线$PN$的垂线时,垂足$W$位于线段$NP$的延长线上,过点$N$作直线$MP$的垂线时,垂足$V$位于线段$MP$的延长线上.设直线$MW$和直线$NV$交于点$Q$.则易得$\triangle QMN$是锐角三角形,且直线$MV$和直线$NW$是锐角三角形$QMN$的两条高.而我们已经证得,锐角三角形的三条高交于一点,只能交于点$P$.因此$QP$也是锐角三角形$QMN$的高,也即$QP$垂直于$MN$.因此钝角三角形的三条高必定交于一点$Q$.

图2

综上所述,我们证明了任意三角形的三条高线交于一点.这一点叫三角形的垂心.