叶卢庆的博客

三棱锥的三个侧面夹角和大于$180^{\circ}$

在三棱锥$S-ABC$中,二面角$C-SA-B$,$A-SB-C $,$B-SC-A$的平面角分别记为$\alpha$,$\beta$,$\gamma$.下面我们证明,$\alpha+\beta+\gamma>180^{\circ}$.

图1

证明:如图2所示,过三棱锥内部一点$P$作三个侧面$SAB$,$SBC$,$SCA$的垂线,垂足分别记为$D,E,F$,且垂足都落在相应侧面的内部.满足如上条件的点$P$必然存在,三棱锥内切球的球心就是一个例子.

过点$D$作棱$SA$的垂线,垂足记为$G$.再连接$GF$.

因为$SA$与相交的两条直线$PD,DG$都垂直,

所以$SA$垂直于平面$PDG$,

所以$SA$垂直于直线$PG$.

又因为$SA$垂直于直线$PF$,直线$PG,PF$也相交,

所以$SA$垂直于平面$PFG$,

所以$SA$垂直于直线$GF$.

可见,$SA$与直线$GD,GF$都垂直.因此$\angle DGF$是二面角$C-SA-B$的平面角.

图2

同理,过点$E$作棱$SB$的垂线,垂足记为$H$.再连接$DH$.$\angle EHD$是二面角$A-SB-C$的平面角.过点$F$作棱$SC$的垂线,垂足记为$I$.再连接$EI$.$\angle FIE$是二面角$B-SC-A$的平面角.

直线$PD,PE,PF$不可能共面,否则,假设这三条直线共面于平面$\phi$,则平面$PDGF,PEHD,PFIE$都是平面$\phi$.则直线$SA,SB,SC$都垂直于平面$\phi$,因此直线$SA,SB,SC$互相平行或互相重合,这与$SA,SB,SC$只交于点$S$矛盾.

下面证明,对于不共面的直线$PD,PE,PF$来说,有
\begin{equation}\label{eq:1}
\angle DPF+\angle EPD+\angle FPE<360^{\circ}.
\end{equation}

图3
如图3,反向延长射线$PE$,在反向延长线上取点$G$.则由三面角两个面角之和大于第三个面角,可得
$$
\angle FPD < \angle FPG+\angle DPG,
$$

$$
\angle FPD < (180^{\circ}-\angle FPE)+(180^{\circ}-\angle DPE),
$$

$$
\angle FPD+\angle FPE+\angle DPE < 360^{\circ}.
$$
这样就证明了不等式\eqref{eq:1}.由于$\angle DPF+\angle DGF=180^{\circ} $ ,$\angle EPD+\angle EHD=180^{\circ}$ ,$\angle FPE+\angle FIE=180^{\circ} $ .因此
\begin{align*}
\angle DGF+\angle EHD+\angle FIE&=540^{\circ}-(\angle DPF+\angle EPD+\angle FPE)\\& > 540^{\circ}-360^{\circ}=180^{\circ}.
\end{align*}
这样,我们就证明了任意三棱锥的三个侧面形成的三个二面角的和始终大于$180^{\circ}$.