叶卢庆的博客

同一有限维向量空间的两个基底向量数目相同

Strang的《线性代数及其应用》第2.3节中的一个定理如下:

假定$\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_m$和$\mathbf{w}_{1},\cdots,\mathbf{w}_n$是同一向量空间$V$的两个基底,则必有$m=n$.

证明:假设$m\neq n$,由对称性,不妨设$m<n$.由于$\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_m$是基底,因此必有
\begin{align*}
\mathbf{w}_1&=a_{11}\mathbf{v}_1+a_{12}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{1m}\mathbf{v}_m\\
\mathbf{w}_2&=a_{21}\mathbf{v}_1+a_{22}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{2m}\mathbf{v}_m\\
\vdots\\
\mathbf{w}_n&=a_{n1}\mathbf{v}_1+a_{n2}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{nm}\mathbf{v}_m
\end{align*}
创造性地将以上$n$条式子写成矩阵形式,即
$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{w}_1\\
\mathbf{w}_2\\
\vdots\\
\mathbf{w}_{n}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{v}_1\\
\mathbf{v}_2\\
\vdots\\
\mathbf{v}_m
\end{pmatrix}
$$
将系数矩阵$A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}
\end{pmatrix}$进行$P^{-1}LU$分解,其中P是置换矩阵,L是对角线元素都为$1$的下三角矩阵,U是阶梯型上三角矩阵.则
$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{w}_1\\
\mathbf{w}_2\\
\vdots\\
\mathbf{w}_{n}
\end{pmatrix}=
P^{-1}LU
\begin{pmatrix}
\mathbf{v}_1\\
\mathbf{v}_2\\
\vdots\\
\mathbf{v}_m
\end{pmatrix},
$$
转化为
$$
L^{-1}P
\begin{pmatrix}
\mathbf{w}_1\\
\mathbf{w}_2\\
\vdots\\
\mathbf{w}_{n}
\end{pmatrix}=U
\begin{pmatrix}
\mathbf{v}_1\\
\mathbf{v}_2\\
\vdots\\
\mathbf{v}_{m}
\end{pmatrix}.
$$
$L^{-1}P
\begin{pmatrix}
\mathbf{w}_{1}\\
\mathbf{w}_2\\
\vdots\\
\mathbf{w}_n
\end{pmatrix}
$的各个分量都是向量,而且这些向量线性无关.但是由于$U$矩阵的行数多于列数,意味着最起码$U$矩阵的最后一行全是零,即$L^{-1}P
\begin{pmatrix}
\mathbf{w}_1\\
\mathbf{w}_2\\
\vdots\\
\mathbf{w}_n
\end{pmatrix}
$的最后一个向量是零向量.这与线性无关矛盾.因此假设不成立.可见,$m\geq n$.同理可得$n\geq m$.因此$m=n$.