叶卢庆的博客

解答胡露杰的又一个问题

问题: 设函数$f(x)$连续可导,且$f(0)=0$,$F(x)=\int_0^xt^{n-1}f(x^n-t^n)dt$.求$\lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{x^{2n}}$.

解:设$f(x)=f(0)+f’(0)x+o(x)=f’(0)x+o(x)$,其中$\lim_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0$.则
\begin{align*}
F(x)&=\int_0^xt^{n-1}[f’(0)(x^n-t^n)+o(x^n-t^n)]dt
\\&=f’(0)x^n\int_0^xt^{n-1}dt-f’(0)\int_{0}^{x}t^{2n-1}dt+\int_0^xt^{n-1}o(x^n-t^n)dt
\\&=\frac{f’(0)x^{2n}}{2n}+\int_0^xt^{n-1}o(x^n-t^n)dt.
\end{align*}
而$\int_0^xt^{n-1}o(x^n-t^n)dt$是关于$x^{2n}$的无穷小量,这是因为$\lim_{x^n-t^n\to 0}\frac{o(x^n-t^n)}{x^n-t^n}=0$,因此$\lim_{x^n-t^n\to 0}\frac{o(x^n-t^n)}{|x^n-t^n|}=0$.而由于$0\leq |t|\leq |x|$,因此$0\leq |t^n|\leq |x^n|$,因此$|x^n-t^n|\leq |x^n|-|t^n|\leq |x^n|$.于是,$\lim_{x^n-t^n\to 0}\frac{o(x^n-t^n)}{|x^n|}=0$,于是$\lim_{x^n-t^n\to 0}\frac{o(x^n-t^n)}{x^n}\to 0$.而由于$|t^{n-1}|\leq |x^{n-1}|$,因此$\lim_{x^n-t^n}\frac{t^{n-1}o(x^n-t^n)}{x^{2n-1}}=0$.可见$\lim_{x\to 0;x^n-t^n\to 0}\int_0^xt^{n-1}o(x^n-t^n)$是关于$x^{2n}$的无穷小量.

因此$$\lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{x^{2n}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{f’(0)x^{2n}}{2n}}{x^{2n}}=\frac{f’(0)}{2n}.$$

注:从解答可见,题目中函数连续可导这个条件是不必的,只用可导就够了.