叶卢庆的博客

PA=LU的唯一性问题

对于矩阵$A$,当然在这里我们令$A$是一个非零矩阵.只要$A$是一个非零矩阵,它一定能通过一定的行操作步骤,变成一个上阶梯矩阵.即便$A$是一个零矩阵,我们也可以认为$A$本身就是一个上阶梯矩阵.

这里所使用的行操作步骤,仅包括将某一行乘以一个非零常数之后,加到另一行上.以及行交换.而且,我们总能先对矩阵$A$完成所有必要的行交换,之后再进行另一类型的行操作步骤,最终照样能把矩阵$A$化作上阶梯矩阵.

举一个例子:

设矩阵$A=
\begin{pmatrix}
0&-3&-6&4&9\\
-1&-2&-1&3&1\\
-2&-3&0&3&-1\\
\end{pmatrix}
$,在尝试将其化成上阶梯矩阵的时候,第一步就面临两种方案.由于矩阵第一列首个元素为零,因此要进行行交换.可以先把第一行和第二行交换,也可以把第一行和第三行交换.然后再继续进行其它的行操作,要注意对于这个矩阵来说,之后就没有行交换这种操作了.这两种方案最后得到的上阶梯矩阵必定是不同的.按照第一种方案,得到的上阶梯矩阵的第一行会是$\begin{pmatrix}
0&-3&-6&4&9
\end{pmatrix}
$,按照第二种方案得到的上阶梯矩阵的第一行会是$
\begin{pmatrix}
-2&-3&0&3&-1
\end{pmatrix}.
$可见,对于同一个矩阵$A$,当置换矩阵$P$不同时,最后得到的LU矩阵可能也是不同的,即当置换矩阵$P_1\neq P_2$时,若$P_1A=L_1U_1,P_2A=L_2U_2$,则从这个例子可以看出$L_1,L_2$以及$U_1,U_2$是可以不同的.实际上,对于这个具体的例子来说,既可以有
$$
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&0&1\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&-3&-6&4&9\\
-1&-2&-1&3&1\\
-2&-3&0&3&-1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
2&-\frac{1}{3}&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1&-2&-1&3&1\\
0&-3&-6&4&9\\
0&0&0&-\frac{5}{3}&0
\end{pmatrix}.
$$
又可以有
$$
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&-3&-6&4&9\\
-1&-2&-1&3&1\\
-2&-3&0&3&-1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
\frac{1}{2}&1&0\\
0&6&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-2&-3&0&3&1\\
0&\frac{-1}{2}&-1&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
0&0&0&-5&0
\end{pmatrix}.
$$

然而,一旦转置矩阵$P$被唯一确定,则L,U也会被相应地唯一确定.