叶卢庆的博客

矩阵转置乘法公式背后的直观

$(AB)^T=B^TA^T$为什么会成立呢?

观点1:我们知道,$AB$的第$i$行第$j$列元素是这样确定的:$A$的第$i$行向量与$B$的第$j$列向量进行向量点乘运算,得到的数字,就是$AB$的第$i$行第$j$列元素.

而$B^T$的第$j$行向量与$A^T$的第$i$列向量进行点乘运算,会得到相同的数字,放在$B^TA^T$的第$j$行第$i$列中.

因此矩阵$AB$和矩阵$B^TA^T$是转置关系.所以有$(AB)^T=B^TA^T$.

观点2:背景:看到矩阵$MN$相乘,有两种方式.矩阵$MN$的第$i$行,可以看作矩阵$N$各行的线性组合,线性组合的系数(权)依次为矩阵$M$第$i$列的各个元素.

矩阵$MN$的第$i$列,也可以看作矩阵$M$各列的线性组合,线性组合的系数依次为矩阵$N$第$i$列的各个元素.

现在进入主题:

矩阵$AB$的第$i$行,实际上是矩阵$B$的各行向量的线性组合,线性组合的系数(权)依次为矩阵$A$第$i$行的各个元素.也即,矩阵$(AB)^T$的第$i$列,是矩阵$B^T$各个列的线性组合,线性组合的权依次为矩阵$A^T$第$i$列的各个元素.所以$(AB)^T=B^TA^T$.