叶卢庆的博客

解答胡露杰的一个问题

胡露杰问我这样子求极限为什么不行:

\begin{equation}\label{eq:1}
\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{[(1+\frac{1}{x})^x]^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{e^x}=1.
\end{equation}

我觉得这是一个有意思的错误.解析如下:

令 $g(x)=(1+\frac{1}{x})^x$.对于表达式 $g(x)^x$ 来说,$x$ 同时出现在两个地方——它既出现在 $g(x)^x$ 的底数位置$g(x)$中,又出现在$g(x)^x$的指数位置.当$x$增大时,虽然底数$g(x)$会越来越接近$e$(而且事实上$g(x)$永远不会超过$e$),但是这未必表明$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{g(x)^x}=1$,这是因为,指数位置的$x$也在同时变大,而指数位置的$x$增大起到放大差异的作用(对于$a>b>0$,$\lim_{x\to+\infty}(\frac{a}{b})^x=+\infty$).

所以像式\eqref{eq:1}那样求极限是没根据的.正确的做法要用洛必达法则.

练习:为了检验读者是否理解了上面这段话,试想想为什么

$$\lim_{x\to +\infty}(1+\frac{1}{x})^x=1^x=1$$

是错的.