叶卢庆的博客

将下三角矩阵分解为基本矩阵

在这篇短文里,我们来说明,可以将对角线元素都为$1$的下三角矩阵和上三角矩阵分解为基本初等矩阵的乘积.为此,我们先举一个例子:

对于下三角矩阵
$$
L_{3}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
a_{21}&1&0\\
a_{31}&a_{32}&1
\end{pmatrix}
$$
来说,由于
$$
\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\
0&-a_{32}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\
-a_{31}&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -a_{21}&1&0\\
0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ a_{21}&1&0\\
a_{31}&a_{32}&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\
0&0&1 \end{pmatrix},
$$
因此
\begin{align*}
L_{3}= \begin{pmatrix}
1&0&0\\
a_{21}&1&0\\
a_{31}&a_{32}&1
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
-a_{21}&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
-a_{31}&0&1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&-a_{32}&1
\end{pmatrix}^{-1}\\&=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
a_{21}&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
a_{31}&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&a_{32}&1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
再比如,对角线上元素都为$1$的$4$阶下三角矩阵
$$
L_4=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
a_{21}&1&0&0\\
a_{31}&a_{32}&1&0\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&1
\end{pmatrix},
$$
可以将其分解为
$$
L_4=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
a_{21}&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
a_{31}&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
a_{41}&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&a_{32}&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&a_{42}&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&a_{43}&1
\end{pmatrix}.
$$
更一般地,任何对角线上元素为$1$的下三角矩阵都能分解成基本矩阵的乘积,即若$n$阶下三角矩阵
$$
L_n=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&\cdots&0\\
a_{21}&1&0&0&0&\cdots&0\\
a_{31}&a_{32}&1&0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\cdots&0&\cdots&1
\end{pmatrix},
$$

$$
L_n=(E_{21}E_{31}\cdots E_{n1})(E_{32}E_{42}\cdots
E_{n2})(E_{43}E_{53}\cdots E_{n3})\cdots (E_{n-1,n-2}E_{n,n-2})E_{n,n-1}.
$$
其中矩阵$E_{ij}$是下三角矩阵,且对角线上的元素都为$1$,且第$i$行第$j$列的元素是$a_{ij}$,除此之外,其它地方的元素都为$0$.且值得注意的是,在每个括号里,矩阵相乘的顺序可以发生改变,照样得到相同的结果.