叶卢庆的博客

矩阵LDU分解的唯一性

这是Strang《线性代数及其应用》(侯自新等人译)上的一个定理.我照抄如下:

如果$A=L_1D_1U_1,A=L_2D_2U_2$,其中$L$都是对角线上元素为$1$的下三角矩阵,$U$都是对角线上元素为$1$的上三角矩阵,$D$都是对角元素全都不为零的对角矩阵,则$L_1=L_2,D_1=D_2,U_1=U_2$,也即$A$的分解式$LDU$唯一.

下面我们仅拿$3$阶矩阵来说明为什么这条定理成立.假设$3$阶矩阵$A$分解成了如下形式的矩阵乘积:
$$
A=LDU=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
a_{21}&1&0\\
a_{31}&a_{32}&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11}&0&0\\
0&b_{22}&0\\
0&0&b_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&c_{12}&c_{13}\\
0&1&c_{23}\\
0&0&1
\end{pmatrix},
$$
则$U=D^{-1}L^{-1}A$(注意这里用到了$D$可逆这个条件).下三角矩阵$L$可以分解成若干个基本初等矩阵的乘积.更具体地,由于
$$
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&-a_{32}&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
-a_{31}&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
-a_{21}&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
a_{21}&1&0\\
a_{31}&a_{32}&1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix},
$$
因此
\begin{align*}
L=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
a_{21}&1&0\\
a_{31}&a_{32}&1
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
-a_{21}&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
-a_{31}&0&1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&-a_{32}&1
\end{pmatrix}^{-1}\\&=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
a_{21}&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
a_{31}&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&a_{32}&1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
因此
$$
L^{-1}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&-a_{32}&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
-a_{31}&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
-a_{21}&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}.
$$
可见,矩阵$U$是矩阵$A$经过一系列初等变换得到的,具体地:先将矩阵$A$的第$1$行乘以$-a_{21}$,加到第$2$行上.再将矩阵的第$1$行乘以$-a_{31}$,加到第$3$行上.再将矩阵的第$2$行乘以$-a_{32}$,加到第$3$行上,使得矩阵$A$经过这样的变换之后变成一个上三角矩阵.然后再把得到的上三角矩阵的第$i$行除以$b_{ii}$,使得对角线上的元素变为$1$,最后得到的上三角矩阵就是矩阵$U$.

举一个例子,如果矩阵$A=
\begin{pmatrix}
2&-1&2\\
-6&0&-2\\
8&-1&5
\end{pmatrix},
$则上面的所有步骤必须完全是确定的.此时,必须有,$-a_{21}=3$.$-a_{31}=-4$.$-a_{32}=1$,$b_{11}=2,b_{22}=-3,b_{33}=1$.最后得到的矩阵$U$必定也是完全确定的.

可见,$L,D,U$都是唯一确定的.