叶卢庆的博客

数学之路——对话恽之玮学长

转载自姜子麟的博客.

恽之玮学长是北京大学数学科学学院00级的学生,后去Princeton读研,2009年至2010年期间在高等研究所(Institute of Advanced Study)工作,目前在MIT就职,主要工作方向为几何表示论(Geometric Representation Theory)。

王志宇:学长是什么时候开始下决心做纯数学?

恽之玮:是在高中和大学之间,参加完竞赛之后。我有一段时间不想做纯数学,也可能是题做多了有点厌烦,想念计算机或者其他的。后来碰到南大的一个老师,她跟我说纯数学还是很有意思的,越念下去越有意思。我进大学后就一直觉得纯数学很有趣,后来就没有动摇过。

王志宇:你们那届做纯数学的有多少人?

恽之玮:现在还在做的大概有十个人或者更多。从之前和之后的比较来说这都是一个local的最大值,整体的不能说。

姜子麟:现在是否诱惑比较多,容易半途转行?

恽之玮:你说是应用方面,嗯,这个一直有很多人,数学学院毕业的做这些的是大多数人。做金融,统计啊等等。我个人对这些不太感兴趣。

姜子麟:学长当年如果转向了计算机,现在的轨迹会是什么样的?

恽之玮:我高中时候喜欢的那种计算机其实就是编程序,像现在的环境,清华有姚班,我也有可能去上。你们也知道那些竞赛题,有些组合跟计算机题挺像的,当时做的有点腻了,如果以我当时的状态,可能就不会选择进一步研究类似组合的问题。我觉得数学的好处在于,可能解问题时,最后还是要用一些组合的办法,但问题的方面更加广,像几何的数论的。同样的想法,可以有不同的包装。表面完全不同的问题,最后的想法又是相通的。

盛开:学长刚接触到大学课程的时候,对那些课程的感受是怎么样的?

恽之玮:上大学之前,我买了一本拓扑的教材。当时看不懂,但我觉得他讲得很清楚。大一寒假里,我再翻一翻,越看越有意思,拓扑是吸引我的一个方面。还有一个就是Galois理论,当时老师也没有时间教,主要是自己看的。像Galois理论,它证明五次方程没有根式解,中学里就听过,但一直不知道是怎么证的。我一直对它挺感兴趣。我对群的概念比较感兴趣,这两个都涉及到群的概念。对我比较影响比较大的几门课,高峡老师当时给我们讲了“模形式”,这门课非常适合本科生,是一门很综合的学科。现在不用着急,今后肯定要学一学。它把拓扑,复变还有群论这些东西都综合在一起,学了之后你会发现,前面的东西你可能都没学懂,真正用的时候不会操作。

王志宇:学长在低年级的时候就学这些高级课程?

恽之玮:我是在大三时候学的模形式。我听说你们现在越学越早,有些同学二年级就开始学代数几何。我前面两年对拓扑和微分几何感兴趣,后面才转向代数几何。我当时还参加讨论班,郑志明老师讲动力系统。高峡老师的讨论班不限定题目,可以读一个东西或者自己想点问题。当时陈维桓开了个研究生课程,是黎曼几何,我也去听了这个课。那个讲的更一般一些,相比本科的微分几何来说。其实研究生课程也不见得比本科的难多少,如果你把数学分析和代数学的比较好的话。

恽之玮:抽象代数其实应该早点学。依照我们的传统,比我更早学数学的人当中,学几何还有分析的比较多,学代数、数论、表示论这些都相对比较少一些。这可能就是因为我们代数学的时间比较靠后,而且讲的东西也不是很多。你们现在有抽代二,抽代二其实是研究生的课。如果把抽象代数一、二这两门都上下来,肯定比我们当时学得多。至少Galois理论,作为一个本科生,作为一个数学系的本科生,你一定得知道是怎么回事。相当于是数学在前一个世纪,也就是十九世纪最大的突破吧。学数学肯定得知道这个。

姜子麟:有时候会觉得学习代数有点枯燥,这方面学长怎么看?

恽之玮:你们学抽象代数是吧。我当时学群的时候也觉得很抽象,证明的那些关于群的定理,都是很抽象也很一般的,那些论述对所有群都是成立的。其实学群不应该这么学,应该学个别的具体的群。而且不要光学群,要学习群在空间中的作用。群作用的概念现在是有的,但是你对于每一个群都要想一想它作用在什么上面。如果你凭空造出来一个群,不作用在任何东西上面,它是没有意义的。比如说学习Galois理论你就知道了,这个群作用在这个域上。如果群不作用在任何东西上,就没有存在的意义。

王志宇:学长能举一些更具体的例子吗?

恽之玮:以前那个杨磊老师——现在不知道还开不开课,我们受他影响挺大的——他当时叫我们念Klein的《二十面体与五次方程》。那本书是二十世纪初翻译的,语言跟现在的有些不一样。但是它的内容都是很具体的、可以动手算的,我们当时做了个二十面体模型来看这里的对称群。它还可以被用来解某些五次方程;或者换句话说,五次方程不能用根式解,但是可以用椭圆函数解。相当于当时的数学基本上都能归纳到这本书里了。当时数学其实已经很丰富了,当时的比如模型式的理论,虽然不算很系统,但是模型式里的特殊函数、矩阵、线性变换群,还有Riemann曲面、常微分方程——你可以将里面的东西翻译成Riemann曲面的语言。这样书如果认真看的话可以学到很多东西。一般书讲的很抽象,上来看两页就不想看。但这本书不用当任务看,你可以当消遣看。能当消遣看的数学书不多。

恽之玮:我在Princeton的导师叫MacPherson,是个拓扑学家,也做代数几何和表示论,但他拿手的是拓扑。当然他现在在考虑一些应用数学问题,也很有意思。我没有跟他学过这些东西,但是完全是纯数学里的想法,相当于开创了拓扑的一个新的方向。他告诉我,一定要注重例子。比如说找几个曲线、曲面作为例子来算;定理成立与否的条件,这个条件是否必要也,可以举个例子。这一方面帮助你理解一般性的定理:有些时候通过分析一个例子你可以就知道一般性的问题该怎么做了;另一方面在今后做研究的时候,很多研究中的问题都来源于例子,而不是抽象的理论。最终的研究成品可能是一个推广了的、发展了的理论,是一套抽象的东西,但其实研究者的出发点肯定不是这样的。有一个具体的问题或具体的例子,原来的工具不够用了,从而迫使他来发现、来改进别人的结果,于是新发展了一套工具,而不是为了发展这个而发展。一定要以例子为中心。也有个别不看例子的,像Grothendieck,他是代数几何的一代宗师。这种人毕竟是少数,他的逻辑思维的能力太强了,很少能有人能达到这个程度。其他的数学家,虽然写的有些东西很抽象,但他的想法,如果你跟他交谈或者是了解他私下里怎么思考,其实都是例子。

姜子麟:那怎么能挑选一个比较好的问题作为自己的入手?

恽之玮:其实我这方面也不算成功,我刚开始做本科生科研,跟着姜伯驹老师和王诗宬老师,最后什么都没有写出来,我也是不好意思的。其实本科生科研里有很多很具体的东西,上手并不难,是可以操作操作的。但是我自己没有找到什么比较好的问题。

王志宇:您当时是跟那两位老师做什么方面的?

恽之玮:姜伯驹老师让我读一些关于辫群的东西。那是很有意思的东西,我现在还很感兴趣,和纽结理论有一些关系,里面又有一些代数的操作,你可以具体地去算。但是我最后也没做出什么东西来。王诗宬老师当时开了一门课叫几何群论,几何群论的主要观点就是把每一个群都看成空间的基本群,换句话说就是把群作用在一个拓扑空间上。把每一个用几何的观点来看,然后推导出一些纯粹关于群的一些性质,也就是代数的性质。但是用几何的观点去看,你就看得自然一些。这个也是很有意思的一个学问,但是我的主要的经历还是放在学上面了。其实本科生搞科研可能还是早了点,当时我也没有找到什么合适的问题。

王志宇:学长是认为本科生具有的预备知识太少了嘛?

恽之玮:对,后来我在Princeton读研究生的时候有一些同学,他们本科的时候多少做过一些科研的,而且有的还写出文章来了,但是我觉得那个意思也不是很大。老师是手把手地把问题给你,大概怎么做给你,然后当然你自己需要一些聪明才智。但是即使你做出来,最后对整个框架性的东西还是不太了解。这个问题为什么要这么提,它的来龙去脉怎么样,不可能在这么短的时间又做出来又了解它的背景,总会是有得有失。他们拿出来的成果表面上比我们厉害,因为本科生的时候就有论文发表。但是我觉得不用急,不用急着做原创性的东西,但不要说人家做过的我就不去算,如果你要练习就还是要上手。你做的目的不是为了发现一个新的东西,至少你不能有意地去发现,你可以研究例子的时候无意地去发现。有时候你盯着一个最简单的例子来问,就可以问很多很多问题。基本上任何一个简单的问题最后问到足够深都能问到那种open problem不一定是别人做不出来的,但至少是别人没有考虑过的。这个也是很重要的一件事:提出问题。

王志宇:平面几何给人以形象的直观,但现代的几何就非常抽象,与我们所能看见的事物似乎没有什么联系了,这些理论究竟是在研究什么样的问题呢?

恽之玮:这个问题物理上有一些动机,研究弦理论的学者认为世界是高维度的,并且具有一些结构,例如Calabi–Yau流形。数学上,比如代数几何,它的动机是研究多项式方程组的解,当变量增多的时候,维数自然就高了。代数几何学家想问题的时候,经常画一些图,只用到了一维,二维,三维的直觉来画一些类比的图形。比如画一条代数曲线,代数曲线应该是一个Riemann面,是二维的,他可能就画一条线来类比。很多情况看是看不见的,最多就能看到三维流形。我们平常只能看到最简单的三维流形,是在欧氏空间中的,那还有很多很复杂的三维流形,那些就只有从事三维流形研究的人能够想象了,他会做一些手术,比如粘合。比如Thurston,他主要研究三维流形,他就能在脑子里清楚的看到一些三维流形。也有时候,他们不是在想那个流形本身,而是划归为一些相对熟悉的东西,比如高维的球面,虽然不知道它的样子,但是还是能稍微想想的。还有一些流形,或者是代数几何中研究的代数簇,它局部上有的时候就像一个球一样,有的可能带有奇点,比如可能像一个锥。其实都是在用一些熟悉的图形在类比,只不过维数变高了。

王志宇:学长在Princeton学习和工作辛苦吗?能保持一直高效率的状态吗?

恽之玮:还可以,以前田刚老师跟我们说,他每天要工作12个小时。我数来数去我数不到,反正我自己工作不到12个小时。我觉得有时候不要太苛求自己了,只要不浪费时间就可以了。我们当时,第一年要通过一个博士生资格考试,那个就可能花一个学期准备准备,那些都是考基础的知识为主,加上两个自选科目,形式是口试问答。之后最困难的就是需要找一个问题做,这有时候比解决问题还要困难。各个导师不一样,有的导师会给你一个问题,有的导师甚至把答案都告诉你,有的导师不给你问题也不给你答案,这个看运气了。但是最终你是要自己找一个问题了。

姜子麟:物理学家推导命题的时候经常不会特别严格,那做数学的时候会不会在某些步骤就一步跨过去呢?

恽之玮:对,你先要往前看几步,大概看看这个路能否走通。不能说,我一直往前推进,遇到一个问题就一直卡在那里。有的时候,你可能觉得这不是一个大问题,比如稍微加一个条件,或者是觉得再花点功夫能做出来。所以应该先往前看几步,回来再补一补。当然这个要有一定的直觉了,有时候你可能看的是不对的,觉得能做出来,其实做不出来,这也有可能发生,这就比较糟糕了。至少需要试着举几个例子,有时候一试就发现错了。

王志宇:学长接下来是准备一直待在美国吗?

恽之玮:这个目前还不知道,我接下来就是做两年博士后,做完了还要再找工作,希望能找到个比如教授的职务。现在美国属于找工作比较苦难的时期,因为金融危机之后,对于学校经费的影响有一定的滞后效应金融危机后,金融市场可能已经好转了,但是学校的拨款,有的是政府拨款,有的是私人捐款,还是会受到前两年的影响。今年用的可能是去年或者前年的资金,或者是前年就已经规划好了,所以它会滞后一些,这对找工作有一些影响。

姜子麟:据我所知,美国的教授职务属于继承式的,比如某个方向上一个教授退下去了,才会招一个做相同方向的教授,这些会对决定自己研究方向或者寻找工作带来很多限制吗?

恽之玮:美国有一些系只重点发展几个方向,基本上教授的总数总是保持差不多的,可以说退一个才能要一个。有几年是退休的高峰,工作就比较好找。申请工作的时候,不会第一名到第五十名的学校都去申请。事实上,有些学校肯定不会录取你,因为那个学校没有做你那个方向的。比如做代数几何的,到有的学校,那里一个做代数几何的都没有,审你材料的人不会对你感兴趣,所以选择不是特别多。美国有那么多学校,上百个学校,具体到每个方向,能有二十个学校选择已经很不错了。

王志宇:在美国,从学校出来,如果无法找到相应的工作,会怎么办?

恽之玮:一般就只能自己退出了。每个学校,比如说,今年招了20个研究生,但是它只招5个博士后,也就是说,如果每个学校都这么算的话,有四分之三的人就找不到工作了。如果是这样的话,有些人会选择往世界其他地方分,有回国的,有中途转业,但不是转得特别离谱的,比如转到应用方向的,或者是统计的,有的就在统计或者应用的方面做一些应用或者研究,做教授,有的就到工业界。

姜子麟:您当年是如何申请到Princeton的研究生的?

恽之玮:我觉得它一般就是看成绩。

王志宇:学长当年有多少同龄人去了像Princeton这样的比较好的学校?

恽之玮:有一个袁新意是我同学,他比我早一年毕业,3年就毕业了,他在Columbia大学做得很好,是张寿武的学生。我这一年毕业的有张伟,后来也师从张寿武,也在Columbia大学。还有一个叫朱歆文,去了Berkley大学。当年申请有两个99级的,比我们高一级,他们是三加二,三年本科,两年研究生,有一个和我去了Princeton大学,我们是同学,还有一个去了MIT。Stanford有一个念统计的同学。所以这些学校每年都会要北大的学生。

姜子麟:在Princeton求学的过程中,有没有发现国外学生一些特别的地方值得我们学习?

恽之玮:我说的可能不是普遍情况,但是就我接触到的,我有一个师兄,也是和我同一个导师的,给我印象最深的就是他的问问题的能力比较强。比如我们听同样一个报告,听完了我就问不出问题来,而他就能问出问题来,而且问问题问得很有意思,问的是那种确实值得去思考的问题。有的人虽然也能问问题,但问的内容,就比如这个理论能不能推广到高维,比较一般性的问题实际上没有多大意思。我的那个师兄问的问题就是针对那个讲座的,特别具体的一些问题,这个能力,我觉得,不是能够教出来的。可能大家讨论的话,情况会好一点,讨论班的话,会比较随便一点。比如黑板上就抄着一个定理,也不用管它的证明,那能不能就这个定理问一些问题?这个定理一定要去欣赏,很多时候写了一个定理,然后开始证明,证明完了,课也结束了。其实证明是其次的,如果真正感兴趣了,再去看证明,但首先需要欣赏,这个定理漂亮在哪里?有用在哪里?要花甚至比看证明更多的时间来想这个问题。当然,我现在是这么说,但我学的时候也不是这样,自学的时候也是看看定理的叙述,有时候自己再想一想,有时候想不出来就看看人家怎么做的。其实这些都是中学的学习方法,是不对的,真正学数学不应该这么学。