叶卢庆的博客

当代大师阿兰·孔涅的探秘之旅

引言

本文描述一种与数学之间的非常个人化的关系。我们不要忘记,每一位数学家都是一个“特例”。以下所述内容,都只涉及它的作者,在任何情况下都不应被认为是“一般”的观点。

在我看来,数学首先是最精致的思维工具,是概念的发生器,有了数学,我们可以理解各种事物、尤其是理解我们身处其中的这个世界。新的概念,就是通过在思想的熔炉中长期精炼才产生出来的。

将数学划分为一些独立领域的想法最初是吸引人的,例如几何是研究空间的科学,代数是符号运算的艺术,数学分析则使我们理解无限和连续的概念,还有数论,等等。但是,这并没有考虑到数学世界的一个本质特征,也就是说,不可能将它的某一部分不伤筋动骨地隔离出来。

叛逆行为

在我看来,关于数学首先要知道,我们无法通过学习成为数学家,而是通过做数学才能成为数学家。因此,重要的并不是“学问”,而是本领。当然,知识是绝对必要的——完全没有必要抛弃前人所获得的成就,但是,我始终认为,努力地思考一个几何问题比起半生不熟地积累所谓知识来可以让人有更大的进步。

这样,在我看来,我们或多或少是通过某个反叛行为才开始成为数学家的!

这话怎么讲呢?它的意思就是,未来的数学家将开始对某个问题进行思考,然后他会明白,实际上他在文献资料和书籍当中所读到的,并不符合当他面临问题时的个人看法。当然,很多时候这是因为没有学到家,但是这并不重要,只要他的观点是建立在他的个人直觉以及证明的基础上就行了。此时他将明白,在数学里面没有权威!如果一个十二岁的学生能够证明自己的论断,就完全可以在他的教师面前坚持己见,并且正因为如此,才能够让数学与其它学科相比显示出它的独特之处。在那些学科里,教师很容易以学生所不具有的知识作为挡箭牌。一个五岁的孩子可以对他父亲说“爸爸,没有最大的数”,并且对此十分肯定,这并不是因为他在书中看到过,而是因为他在头脑当中已经论证过了⋯⋯对于善于按照规则进行探索的人来说,这里有着广阔的自由空间。最为重要的事情,就是成为自己的权威。也就是说,为了理解某些事情,不要立刻去尝试确认这是否写在某本书里。不要!这样做只会延迟独立性的觉醒。需要做的事情,是在他的头脑当中验证这是否是真的。从我们明白这一点的时刻开始,我们就可以逐渐地去了解熟悉数学王国的某个很小的部分,并且从此开始在这个王国的神奇领地上以自己的方式进行一次长途的寻宝之旅。

诗情荡漾

我们可以说,数学家的工作当中有两个方面,一方面在于证明、验证,等等,它要求全神贯注,要求高度的理性主义;然而幸运的是,还有另一个方面,眼光!眼光这个东西,有点像是受到直感的驱使而得到的,它并不服从某些确定性,却更像是一种诗歌性质的有趣的东西。简而言之,在数学发现当中有着两个时间阶段。在第一个阶段里,还无法以推理的方式用公式化语言来明确表达出直觉。在这个阶段里,重要的是眼光!这并不是静态的那一方面,而是一种诗情荡漾的境界。

这种诗情荡漾几乎无法用话语来传达。可以毫不夸张地说,一旦当我们尝试将它说出来的时候,我们就会使它变成石头;而且我们会丧失这种动感,而它在数学发现当中是至关重要的。

然后,当我们理清了问题的足够多的方面时,并且当我们认识到这种眼光最终帮助我们解决问题时,事情就会发生变化。例如,当我开始成为数学家时,在我所有的发现当中最让我感到震动的一件事就是(那是我在雅克·迪斯米埃的指导下准备博士论文时期),一个非交换代数随着时间在发生变化!我所证明的是,实际上,一个非交换代数都有一个随时间的演化,这个演化是完全典则的。更加准确地说,Tomita理论所定义的演化依赖于某种态,实际上这种演化只是在模掉内自同构的意义上才依赖于这个态;这些内自同构是平凡的,不存在的。因此,这里所展示的,就是这种非交换性生成了时间(注:这里指的是孔涅的国家博士论文,其中他解决了冯·诺依曼代数理论中的第III型因子的分类问题。)!而且是从虚无当中生成的!如此简单!就是这样!当然,立刻由此得出的结果就是,一个代数会包含大量的不变量,例如它的周期,也就是说,使演化成为平凡所需的时间 t 。但是,尽管这些结果完全是可以公式化表达的和可以传达的,却并不会耗尽它们诗歌般的内容,也不会耗尽将最初的新发现付诸行动时的精彩之处。

数学现实

我对有些诗人非常欣赏,例如伊夫·博纳福依(注:伊夫·博纳福依(Yves Bonnefoy,1923—)法国诗人和散文家),这是由于他们在方法论层面上与数学相近。在我看来,数学家与诗人的不同之处,在于诗人所使用的原材料是人类经验中的物质现实。诗词的主要成分,是一个人的内心世界和外部现实之间的冲突,这种冲突之激烈总是使得我们震惊。而数学家的航程,则是在另外一个地理空间中、另外一个景观中的旅游。在此期间,他会碰到另外一种现实。这种数学现实与我们身处其中的物质现实同样严酷而坚固。这个眼光部分对于数学家真正做数学来说是不够的。也就是说,相比眼光部分,在论证之后随之而来的阶段里,有着一段不确定的令人痛苦的时间,总是担心会搞错。这有点像从陡坡上下来时,我们必须不停地往下看……我们也总是在不停地对自己说“瞧,我本来会在这里出错的,或许我已经搞错了”。谁知道呢,我们总是在担心!我们可能会经历数小时可怕的惶惶不安的时间,正是因为我们遇到了一个真正的现实。因此,这不是普通意义上的现实,而可能是更加严酷的现实。

这样一来,真理的概念用到了另外一个世界,它并不是人类在其外部现实当中所经验的世界,而是数学现实的世界。需要理解的关键点是,无数的数学家们花费一生的心血致力于发现这一世界;对于这个世界的轮廓和联通性,他们的意见是一致的:无论它的生命行程源自何处,如果说这一行程足够遥远,如果我们时刻警惕不被禁闭在某个特殊区域里面的话,迟早有一天,我们会到达这些众所周知的城堡当中的某一个,例如椭圆函数、模形式、ζ函数,等等。“条条道路通罗马”,数学世界也是“连通的”。当然,这并不意味着所有这些部分都相似。格罗腾迪克(注:格罗腾迪克(Alexandre Grothendieck,1928—2014)20世纪最有影响的数学家之一,1966年菲尔茨奖获得者,1988年克拉福德奖获得者(他拒领该奖))在他的《收获与播种》当中,这样描述了一幅他从分析出发,最终来到代数几何的过程中所经历的景象:

“我仍然记得这个吸引人的印象(当然,这完全是主观的),就像是我离开了令人厌恶的干旱荒原,突然发现自己来到了一个华丽繁茂、遍地流金的‘富裕地带’,到处都充斥着无穷无尽的财富,这里令人禁不住伸出双手,去采摘果实或者开发宝藏⋯⋯”

——亚历山大·格罗腾迪克

伽罗瓦

从某种意义上来说,伽罗瓦所领悟的,或者说真正的现代数学的起点,就是必须有能力超越演算。也就是说,不要去进行演算,而是在思想里面进行演算!要明白这些演算的本质将会是什么,将会出现的困难是什么,等等,但是并不真正地去进行具体的演算,从而理解它的结果将会是什么形式的,该结果将会有什么对称性。因此,要超越这种外表形式;如果我们不加警惕的话,就很容易被困于其中。需要尝试从高处着手去摆脱困境,在对称性方面进行思考,等等。

“双脚并拢,跳过这些计算;将那些运算加以组合,按照它们的困难程度而不是按照其形式进行分类;在我看来,这才是我们的任务。”

——埃瓦里斯特·伽罗瓦

当伽罗瓦的前辈们探求某个方程的根的对称函数时,他自己却开始打破这种对称性,以便看清楚将会发生什么⋯⋯ 他的出发点是选择这些根的任意一个没有任何对称性的函数。奇妙之处就在于,他从这个根的函数所推导出来的不变群,实际上独立于最初的任意选择。

伽罗瓦的想法一点也不过时,它们仍然滋润着当代数学,只是因为这些想法简单明了并且引起了变动。格罗腾迪克所创立的主题理论可以看做是伽罗瓦的理论在大于0维时的某种自然推广,也就是说,如果我们愿意的话,它是在多变量多项式情况下的推广。这些在目前的发展,就像伽罗瓦理论的发展一样,是伽罗瓦思想的活力之所在。这里,需要引用他的遗嘱的结尾部分。

“我亲爱的奥古斯特,你知道,这些课题并不是我所探索的全部内容。某段时间以来,我的主要思索集中在不确定性理论在超越分析方面的应用。这需要事先就明白,在超越数量或者超越函数之间的关系当中,我们可以进行怎样的互换,我们可以用哪些数量来替换那些所给定的数量,同时保持这种关系。这立刻就会使我们所可能寻找的许多数学表达式变得不再可能了。但是,在这个广阔的领域内,我没有时间了,我的想法也还没能足够成熟。”

——埃瓦里斯特·伽罗瓦

代数与音乐

在我看来,对于一个孩子来说,关键是很早就开始让他接触音乐。我认为,让一个孩子在五六岁的时候接触音乐,可以适当减弱他在视觉智能方面的优势,这种视觉智能是很奇妙的、纯视觉的天赋,孩子很早就能获得,实际上它与几何相联系。音乐可以通过代数将它加以平衡,也就是说,音乐与时间有关,正如代数与时间有关一样。在数学当中,存在着这种基本的二元性。一方面是几何,它对应于大脑的视觉区域,并且是一种瞬时的即刻的直觉。在这里,我们看到了一种几何图像,嘣!就是它,这就是一切,甚至不需要我们去解释,我们不想去解释。然后是另一方面,那就是代数。代数,它和视觉一点关系也没有,相反,它具有时间性,与时间有关!这就是演算之类的东西。这就是某种变化着的东西,并且是某种和语言非常接近因此具有语言的奇妙精确性的东西。而且,我们可以通过音乐来认识到这种代数所产生的力量。因此,对于我来说,在如此感受到的音乐和代数之间,确实存在着一种奇妙的默契。例如,我酷爱肖邦的一些序曲,因为我发现,它们恰好具有这种美妙的凝聚性和精练性。在一间屋子里聆听这种音乐,就像窗户被一阵风突然吹开,然后,又从另一个方向重新关上。从某种意义上来讲,这就是要将一种思想以它最清晰、最纯粹的形式凝聚出来⋯⋯这就是它:代数。

建议

我以几个“实际”的建议来结束此文:

  1. 散步. 当我们面临非常复杂的难题的时候(常常需要进行演算),有一种很好的实用方法,那就是外出长时间地散步(不带纸和笔),并且在头脑当中进行演算(这时,需要忘记“这样做太复杂了”的最初印象)。即使我们后来没有成功,它也会形成“鲜活的记忆”,并磨练智力。

  2. 床上思考. 一般来说,数学家们最大的问题,就是让自己的配偶明白,他们在工作当中最全神贯注的时刻,就是在黑暗中当他们在床上睡觉的时候。不幸的是,计算机屏幕和电子邮件对他们的侵犯,使得这种自我集中的方式使用得越来越少;而这种方式以后只会越来越显其珍贵。

  3. 勇敢. 在数学发现当中有两段时间,在一段时间里需要勇敢:需要沿着峭壁往上爬,并且绝对不要往下看⋯⋯ 为什么呢?因为如果你开始往下看,你就会说:“是的!当然是这样的,某个人已经研究过这个问题了,他没有能够解决它,那么我也就没有任何理由能够解决它。”然后,你将找到上百条合理的理由,它们会阻止你往上爬。因此,需要彻底地撇开它。从某种意义上来说,需要“保护自己的无知”,以便能够孕育出某个想法,而不是在它尚处于意识里的某一个 t 时刻时就使它夭折了。

  4. 承受压力. 在数学家的生活里,常常有这种情况出现(往往是在开始的时候),由于竞争激烈,他们遇到了某些困难。例如,我们收到了某个竞争者的“预印本”,其课题与我们正在进行的研究相同,因此我们感受到了压力,急于发表论文。在这样的情况下,我所了解的唯一解决方法,就是尝试将这种沮丧情绪转化为能量,去更加努力地工作。

  5. 不图认可. 很久以前,我的一位同事向我透露说:“我们数学家的工作,就是为了得到很少几个朋友的吝啬的认可。”是这样的,研究工作本质上就是孤独的,研究者会感到需要以这种或者那种方式得到认可。说实话,关于这一点,只有唯一的一个评判者是重要的,那就是自己。并且,我们没有办法去违背自己。过于在意别人的观点,简直就是在浪费时间。到目前为止,没有任何一个定理是由全体投票来得到证明的,正如费曼所说的:“为什么你要在乎别人的想法呢!”