叶卢庆的博客

重新理解交比在射影下不变

我们曾经用Desargues构型理解过交比在射影下不变.现在我们重新来理解交比在射影下不变.

其实没什么新的,只不过是博文关于相似变换的一个结论的老调重弹.下面的讨论就是基于这篇博文中的原理.

图1
设在点$A$处放置一个圆$\alpha$,其中圆的圆心为点$A$,半径为$a$.以点$D$为变换中心,将圆$\alpha$经过相似变换$T_1$的作用,变成圆$\beta$,其中圆$\beta$的圆心为点$B$,半径为$b$.再以点$E$为变换中心,将圆$\beta$经过相似变换$T_2$的作用,变成圆$\gamma$,其中圆$\gamma$的圆心为点$C$,半径为$c$.则$T_{2}\circ T_{1}$也是相似变换,相似变换把圆$\alpha$变为圆$\gamma$,且相似变换$T_{2}\circ T_{1}$的中心$F$位于直线$DE$上.显然,
$$
\frac{a}{b}=\frac{AD}{DB},\frac{a}{c}=\frac{AF}{FC}.
$$
而$\frac{b}{c}=\frac{BE}{CE}$.因此
$$
\left.\frac{AF}{FC}\middle/\frac{AD}{DB}\right.=\frac{BE}{CE}.
$$
当直线$l$绕着点$E$转动时,$\frac{BE}{CE}$是始终不变的,因此在转动过程中$\left.\frac{AF}{FC}\middle/\frac{AD}{DB}\right.$也不变.

因此若直线$D’F’$也经过点$E$,其中$D’,F’$分别为直线$AB,AC$上的点,则有
$$
\left.\frac{AF}{FC}\middle/\frac{AD}{DB}\right.=\left.\frac{AF’}{F’C}\middle/\frac{AD’}{D’B}\right.
$$

$$
\left.\frac{AF}{FC}\middle/\frac{AF’}{F’C}\right.=\left.\frac{AD}{DB}\middle/ \frac{AD’}{D’B}\right.
$$
此即交比在射影下不变.