叶卢庆的博客

利用射影几何基本定理证明Pappus定理

先重述Pappus定理.如图1所示,点$A_1,A_2,A_3$共线,点$C_1,C_2,C_3$共线.直线$A_1C_2$与直线$A_2C_1$交于点$B_2$,直线$A_1C_3$与直线$A_3C_1$交于点$B_3$,直线$A_2C_3$与直线$A_3C_2$交于点$D_2$.则Pappus定理表明,点$B_2,B_3,D_2$共线.

我们曾经使用中心投影的方法证明Pappus定理(通过把直线$B_2B_3$当作没影线),现在,我们考虑使用射影几何基本定理证明Pappus定理.

首先,我们把命题转换一下.Pappus定理等价于:

如图1所示,点$A_1,A_2,A_3$共线,点$C_1,C_2,C_3$共线.直线$A_1C_2$与直线$A_2C_1$交于点$B_2$,直线$A_1C_3$与直线$A_3C_1$交于点$B_3$,设直线$B_2B_3$与直线$A_3C_2$交于点$D_2$,则点$A_{2},D_2,C_3$三点共线.

图1
下面我们来证明这个转换了的命题.为此我们需要在图1的基础上再添加一些点和线,变成图2.在图2中,点$B_1$是直线$A_1C_1$与直线$B_2B_3$的交点,点$D_3$是直线$A_3B_3$与直线$B_2B_3$的交点,点$A_4$是直线$A_1A_2$与直线$B_2B_3$的交点,点$C_4$是直线$A_1A_2$与直线$C_1C_2$的交点.

图2
如图2所示,
$$
T_{1}:A_1A_2A_3A_{4} \frac{C_1}{\wedge}B_1B_2B_3A_{4},
$$
以及
$$
T_{2}:B_1B_2B_3A_{4} \frac{A_1}{\wedge}C_1C_2C_3C_{4},
$$
$$
T_{3}:C_1C_2C_3C_{4} \frac{A_3}{\wedge}B_{3}D_2D_3A_{4},
$$
$$
T_4:B_3D_{3}A_4 \frac{C_3}{\wedge} A_1A_3A_4.
$$
考虑如上透视的复合
$$
T_4\circ T_3\circ T_2\circ T_1:A_1A_3A_4\to A_1A_3A_4.
$$
由于三个共线的点确定唯一一个射影,因此$T_4\circ T_3\circ T_2\circ T_1=I$,是个恒等映射.因此
$$
T_4\circ T_3\circ T_2\circ T_1:A_2\to A_2,
$$
而$T_3\circ T_2\circ T_1:A_2\to D_2$,因此$T_4:D_2\to A_2$.这样就证明了点$A_2,D_2,C_3$三点共线.进一步就证明了Pappus定理.