叶卢庆的博客

利用Menelaus定理证明Desargues定理

下面我们使用Menelaus定理证明Desargues定理.Desargues定理叙述如下:

Desargues定理:如图1所示,直线$A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$交于点$Z$.且直线$A_1A_2$交$B_1B_2$于点$C_1$,直线$A_2A_3$交于$B_2B_3$于点$C_2$,直线$A_3A_1$交$B_3B_1$于点$C_3$.则点$C_1,C_{2},C_{3}$共线.

图1
使用Menelaus定理的证明:由Menelaus定理,
\begin{equation}
\label{eq:1}
\frac{C_1A_1}{A_1A_2}\cdot \frac{A_2Z}{ZB_2}\cdot \frac{B_2B_1}{B_1C_1}=-1,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:2}
\frac{A_2A_3}{A_3C_2}\cdot \frac{C_2B_3}{B_3B_2}\cdot \frac{B_2Z}{ZA_2}=-1.
\end{equation}
上面两个方程等号的左右两边分别相乘,得到
\begin{equation}
\label{eq:3}
\frac{C_1A_1}{A_1A_2}\cdot \frac{A_2A_3}{A_3C_2}\cdot
\frac{C_2B_3}{B_3B_2}\cdot \frac{B_2B_1}{B_1C_1}=1.
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq:4}
\frac{C_1A_1}{A_1A_{2}}\cdot
\frac{A_2A_3}{A_3C_2}=\frac{C_1B_1}{B_1B_2}\cdot \frac{B_2B_3}{B_3C_2}.
\end{equation}
设直线$A_1A_3$与直线$C_1C_2$交于点$C_3’$,直线$B_1B_3$与直线$C_1C_2$交于点$C_3’’$.下面我们证明点$C_3’$和点$C_3’’$重合.这是因为,由Menelaus定理,
$$
\frac{C_1A_1}{A_1A_2}\cdot \frac{A_2A_{3 }}{A_3C_2}\cdot \frac{C_2C_3’}{C_3’C_1}=-1,
$$

$$
\frac{C_1B_1}{B_1B_2}\cdot \frac{B_2B_3}{B_3C_2}\cdot \frac{C_2C_3’’}{C_3’’C_1}=-1.
$$
结合方程\eqref{eq:4}可得
$$
\frac{C_2C_3’}{C_3’C_1}=\frac{C_2C_3’’}{C_3’’C_1}.
$$
因此点$C_3’$与点$C_3’’$重合.即三条直线$A_1A_3,B_1B_3,C_1C_2$交于一点,这一点既是$C_3’$,又是$C_3’’$,统一记为$C_3$.$\Box$