叶卢庆的博客

用中心投影复合的观点重述Desargues定理

在此之前,我们已经数次和Desargues定理打过交道.比如在去年4月,我们证明了Desargues定理.后来我们又用射影几何基本定理重新证明了Desargues定理.之后,在博文关于相似变换的一个结论和博文四面体中的Desargues构型,以及博文中心投影的复合中隐藏的Desargues构型中,再一次碰到了Desargues定理.

现在,我们先用透视复合(或者说中心投影复合)的观点,重述Desargues定理如下.强调一下我们并不打算证明,而只是重述.因为证明在上面这些博文里已经说得很透彻了.这种重述是最近前面几篇博文思考的自然产物.

图1
Desargues定理:如图1所示,$A_1B_1S \frac{Z_1}{\wedge} A_2B_2S \frac{Z_2}{\wedge}A_3B_3S\frac{Z_3}{\wedge}A_1B_1S$,其中$S=A_1B_1\cap A_2B_2=A_2B_2\cap A_3B_3$.则点$Z_1,Z_2,Z_3$共线.

而且用透视复合的观点,可以重述Desargues定理的逆定理如下:

Desargues定理的逆:如图1所示,$A_1B_1S \frac{Z_1}{\wedge} A_2B_2S \frac{Z_2}{\wedge}A_3B_3S\frac{Z_3}{\wedge}A_1B_1S$,且$Z_1,Z_2,Z_3$共线,则直线$A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$交于一点$S$.