叶卢庆的博客

中心投影的复合中隐藏的Desargues构型

我们在博文两个中心投影的复合仍然是中心投影的充要条件中,证明了如下论断:

图1

如图1所示,三个平面$\alpha,\beta,\gamma$,平面$\alpha$与平面$\beta$不重合,平面$\beta$与平面$\gamma$不重合.设$\pi_{1}$是从平面$\alpha$到平面$\beta$的中心投影,其中$\pi_1$的投影中心是点$Z_1$,它把平面$\alpha$上的三角形$A_1B_1C_1$投影成平面$\beta$上的三角形$A_2B_2C_2$.$\pi_{2}$是从平面$\beta$到平面$\gamma$的中心投影,其中$\pi_2$的投影中心是$Z_2$,且$\pi_2$把平面$\beta$上的三角形$A_2B_2C_2$投影成平面$\gamma$上的三角形$A_3B_3C_3$.则当且仅当平面$\alpha,\beta,\gamma$交于同一直线,或者两两互相平行时(在三个平面两两互相平行的情形,可以认为三个平面交于无穷远直线),中心投影$\pi_{1}$与$\pi_{2}$的复合$\pi_{3}=\pi_2\circ\pi_{1}$仍然是中心投影。且$\pi_{1}$的投影中心$Z_{1}$,$\pi_{2}$的投影中心$Z_{2}$,以及$\pi_{3}$的投影中心$Z_{3}$三点共线.

仔细观察图1,我们发现图1中隐藏了非常丰富的Desargues构图.下面我们将其揭示出来.如果仅仅看一张图会感到非常凌乱.因此下面我们将会呈现出不同样子的图1,每张图之间重点凸显的线段并不同,每幅图都对应一种Desargues构型,这样就发现了3个Desargues构型.
图2
图3
图4

而且,进一步地,如图5所示,我们发现,如果考虑的是三角形$A_1A_2A_3,B_1B_2B_3,C_1C_2C_3$,那么我们会得到另外三个Desargues构型.由对称性,我们不再画出这三种情形了.
图5