叶卢庆的博客

一个猜想及其证明

Update(2017.5.30):本文的猜测结论是错误的.证明有错误,我已经用红色字体把错误的地方标出来了.

受博文两个中心投影的复合仍然是中心投影的充要条件启发,我提出如下猜想:

图1

猜想:如图1所示,平面上有三个三角形$A_1B_1C_1,A_2B_2C_2,A_3B_3C_{3}$.已知直线$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$共点于$Z_1$;直线$A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$共点于$Z_2$;直线$A_3A_1,B_3B_1,C_3C_1$共点于$Z_3$.试证明:点$Z_1,Z_2,Z_3$三点共线.

证明:将图1中的整个图形通过中心投影投影到另外一个平面上,使得点$Z_1,Z_2$被投影成无穷远点.则图1通过中心投影,变成如图2所示的形状.图1中凡是被标为$X$的点,被映射成的点相应地标为$X’$.

图2
在图2中,直线$A_1’A_{2}’,B_1’B_2’,C_1’C_2’$互相平行,直线$A_2’A_3’,B_2’B_3’,C_2’C_3’$也互相平行.由此易得直线$A_3’A_1’,B_3’B_1’,C_3’C_1’$也互相平行(错误原因:直线$A_3’A_1’,B_3’B_1’,C_3’C_1’$也可能交于一点,而且这个点不是无穷远点.).

因此在原来的图1中,直线$A_3A_1,B_3B_1,C_3C_1$的交点必定经过没影线$Z_1Z_2$.$\Box$

Update(2017.6.6):现在我将猜想更正成如下形式,然后将其证明.

更正版猜想: 如图1所示,平面上有三个三角形$A_1B_1C_1,A_2B_2C_2,A_3B_3C_3$.已知直线$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$共点于$Z_1$;直线$A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$共点于$Z_2$;直线$A_3A_1,B_3B_1,C_3C_1$共点于$Z_3$.且三组直线$A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$;$B_1C_1,B_2C_2,B_3C_3$;$A_1C_1,A_2C_2,A_3C_3$中,至少有一组满足三线共点.则点$Z_1,Z_2,Z_3$三点共线.

证明:由对称性,不妨设直线$A_1B_1,A_2B_2,A_3B_{3}$三线共点,则如图2所示,考虑三角形$B_1B_{2}B_3$和三角形$A_1A_2A_3$.由Desargues定理,可知三点$Z_1,Z_2,Z_3$共线.

图3