叶卢庆的博客

两个中心投影的复合仍然是中心投影的充要条件

在此,我们把平行投影看作特殊的中心投影,即投影中心位于无穷远点的中心投影.

我提出一个问题:两个中心投影的复合是不是仍然是中心投影?如果不是,那么在什么情况下两个中心投影的复合仍然是中心投影?我们在这篇博文里部分地解决这个问题.

对此,我有一个猜测:设$\pi_{1}$是从平面$\alpha$到平面$\beta$的中心投影,$\pi_2$是从平面$\beta$到平面$\gamma$的中心投影,其中平面$\alpha,\beta,\gamma$两两互不重合.则当且仅当平面$\alpha,\beta,\gamma$交于同一直线,或者两两互相平行时(在三个平面两两互相平行的情形,可以认为三个平面交于无穷远直线),中心投影$\pi_{1}$与$\pi_{2}$的复合$\pi_{3}=\pi_2\circ\pi_{1}$仍然是中心投影.且$\pi_{1}$的投影中心$Z_{1}$,$\pi_{2}$的投影中心$Z_{2}$,以及$\pi_{3}$的投影中心$Z_3$三点共线(当然$\pi_{3}$的投影中心也可能位于无穷远点,此时也认为$Z_1,Z_2,Z_{3}$三点共线).

更具体地说,如图1所示,设$\pi_{1}$是从平面$\alpha$到平面$\beta$的中心投影,其中$\pi_1$的投影中心是点$Z_1$,它把平面$\alpha$上的三角形$A_1B_1C_1$投影成平面$\beta$上的三角形$A_2B_2C_2$.$\pi_{2}$是从平面$\beta$到平面$\gamma$的中心投影,其中$\pi_2$的投影中心是$Z_2$,且$\pi_2$把平面$\beta$上的三角形$A_2B_2C_2$投影成平面$\gamma$上的三角形$A_3B_3C_3$.其中平面$\alpha,\beta,\gamma$两两互不重合.则当且仅当平面$\alpha,\beta,\gamma$交于同一直线,或者两两互相平行时(在三个平面两两互相平行的情形,可以认为三个平面交于无穷远直线),中心投影$\pi_{1}$与$\pi_{2}$的复合$\pi_{3}=\pi_2\circ\pi_{1}$仍然是中心投影。且$\pi_{1}$的投影中心$Z_{1}$,$\pi_{2}$的投影中心$Z_{2}$,以及$\pi_{3}$的投影中心$Z_{3}$三点共线.

图1

下面我们证明这一猜测.首先证明充分性.

充分性证明:也即证明,当$\alpha,\beta,\gamma$交于同一直线(设交线为$l$)或两两互相平行时,$\pi_3$仍然是中心投影,且其投影中心$Z_3$位于直线$Z_1Z_2$上.

首先,直线$A_1A_3$与直线$Z_1Z_2$必共面,这是因为,直线$A_1A_3$在平面$Z_1Z_2A_2$上.这是结论1.

同理,直线$Z_1Z_2$与直线$B_1B_3$共面.这是结论2.

下证直线$A_1A_3$与直线$B_1B_3$也共面.如图2所示.由于直线$A_1B_1,A_2B_2$共面,因此设这两条直线交于点$M_1$(当然$M_1$可以是无穷远点).因为点$M_1$既在平面$\alpha$上,又在平面$\beta$上,因此点$M_1$在平面$\alpha$和$\beta$的交线$l$上,特别地,$M_1$是直线$l$与直线$A_2B_2$的交点.由于直线$A_3B_3,A_2B_2$共面,因此设这两条直线交于点$M_2$(当然$M_2$可以是无穷远点).因为点$M_2$既在平面$\gamma$上,又在平面$\beta$上,因此点$M_2$在平面$\gamma$和$\beta$的交线$l$上,特别地,$M_2$是直线$l$与直线$A_2B_2$的交点.因此点$M_1$和点$M_2$重合,统记作$S$.可见,直线$A_3B_3$和直线$A_1B_1$共点于$S$.

图2

既然直线$A_3B_{3}$和$A_1B_1$共点于$S$,因此直线$A_1A_3$和直线$B_1B_3$共面.这是结论3.

结论1,结论2,结论3,这三个结论结合,就是说,直线$Z_1Z_2,A_1A_3,B_1B_3$两两共面.我们再证明,直线$Z_1Z_2,A_1A_3,B_1B_3$三条直线不共面.这是因为,假若这三条直线共面,则有$A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$共面,这导致平面$\alpha,\beta,\gamma$都重合,矛盾.

因此,直线$Z_1Z_2,A_1A_3,B_1B_3$两两共面,但三直线不共面,由此可得直线$Z_1Z_{2},A_1A_{3},B_1B_{3}$交于同一点.同理,可得直线$Z_1Z_{2},A_{1}A_{3},C_{1}C_{3}$共点.因此直线$A_1A_3,B_1B_{3},C_{1}C_{3}$共点.记该点为$Z_{3}$,且点$Z_3$位于直线$Z_1Z_2$上.充分性证毕.$\Box$

再证必要性.

必要性证明:即证明,若$\pi_1,\pi_2,\pi_3$都是中心投影,且平面$\alpha,\beta,\gamma$两两互不重合,则平面$\alpha,\beta,\gamma$共线或两两互相平行(此时认为三个平面交于无穷远直线).

此时,直线$A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$两两共面,但三条直线不共面,因此这三条直线交于一点$S_1$(也可能交于无穷远点),如图3所示.点$S_1$是平面$\alpha,\beta,\gamma$的公共点.

图3
同理,直线$B_1C_1,B_2C_2,B_3C_3$两两共面,但三条直线不共面,因此这三条直线交于一点$S_2$(也可能交于无穷远点),点$S_2$也是平面$\alpha,\beta,\gamma$的公共点.

并且,点$S_1$与点$S_2$必不重合.因此,平面$\alpha,\beta,\gamma$交于直线$S_1S_2$.必要性证毕.$\Box$

Update(2017.5.31):仔细研究本文的论证过程,可以发现,能将本文中猜想的大前提“$\alpha,\beta,\gamma$两两互不重合”放宽为“$\alpha$与$\beta$不重合,$\beta$与$\gamma$不重合”.

Update(2017.6.6):我不禁想我何以会想到本文的结论.因为本文的结论并不显然.直到今天我发现自己过去写的一篇博文:关于相似变换的一个结论.由那篇博文里的结论可以直接导出这篇文章中的结论.事实上,如果把那篇文章的背景放在三维射影空间中,则三个平面$A_1B_1C_1,A_2B_2C_2,A_3B_3C_3$互相平行,即交于无穷远直线.而在三维射影空间中,无穷远直线并不占据特殊地位,因此可以让无穷远直线进入视线中,从而直接得到本文结论中的充分性条件.