叶卢庆的博客

由中心投影得到的一个命题

如图1所示,两个平面$\alpha$和$\beta$交于直线$l$,现存在一个从平面$\alpha$到平面$\beta$的中心射影,射影中心是空间中的一点$C$.该中心射影把平面$\alpha$上的点$P$映射成平面$\beta$上的点$Q$,将平面$\alpha$上的点$P’$映射成平面$\beta$上的点$Q’$.若直线$PP’$和直线$QQ’$交于点$R$,则$R$位于直线$l$上.

这是因为,显然直线$PP’,QQ’$位于同一个平面上,记该平面为$\gamma$.由于$R\in\alpha\cap\gamma$(点$R$在直线$PP’$上),且由于$R\in\beta\cap\gamma$(点$R$在直线$QQ’$上),因此$R\in\alpha\cap\beta$,即点$R$在$\alpha$与$\beta$的交线$l$上.

图1

现在我们尝试将这个空间中的命题平面化.为此将平面$\alpha$绕着轴$l$旋转,使得$\alpha$与平面$\beta$成$180^{\circ}$角.这样就把空间问题转化为平面问题,此时点$R$该继续在直线$l$上.只不过问题在于,由于此时平面$\alpha$与平面$\beta$重合,直线$l$作不出来了.为此,我们要想出其它方式作出同一条直线$l$,而不是通过两个平面相交的方式作出直线$l$.为此,我们需要添加一些要素使得我们能用其它方法作出直线$l$.考虑到直线$l$与中心射影的没影线(the vanishing line)平行,因此得到如下作法:

如图2所示,平面$\alpha$与平面$\beta$交于直线$l$,点$A$在直线$l$上.现存在一个从平面$\alpha$到平面$\beta$的中心射影,射影中心是空间中的一点$C$.该中心射影把平面$\alpha$上的点$P$映射成平面$\beta$上的点$Q$,将平面$\alpha$上的点$P’$映射成平面$\beta$上的点$Q’$.点$D,D’$分别在直线$AP,AP’$上,点$B,B’$分别在直线$AQ,AQ’$上,且点$D,D’,B,B’$都是中心射影的没影点(the vanishing point),因此易得四边形$ABCD$和$AB’CD’$都是平行四边形,且直线$DD’$和直线$BB’$都平行于直线$l$.

图2
然后,保持所有点在平面$\alpha$和$\beta$上不动,将平面$\alpha$绕着轴$l$转动,在转动过程中,点$C$在空间中发生了位置改变(为了使得$C$依旧是射影中心),然而四边形$ABCD$和$AB’CD’$依旧是平行四边形,且$DD’$和$BB’$依旧平行于直线$l$.正是依据这一点,来确定直线$l$的位置,即便是在$\alpha$与$\beta$重合的情形下.

在$\alpha$与$\beta$夹成平角的特殊情形,则点$R$依旧在直线$l$上,于是我们得到如下命题:

定理:如图3所示,平面上,四边形$ABCD,AB’CD’$都是平行四边形,则易得直线$DD’\parallel BB’$.直线$PQ$和直线$P’Q’$交于点$C$,其中点$P,P’$分别在直线$AD$和直线$AD’$上,点$Q,Q’$分别在直线$AB$和直线$AB’$上.过点$A$作直线$l$平行于直线$DD’$和$BB’$,若直线$PQ$与直线$P’Q’$交于点$R$,则点$R$位于直线$l$上.

图3