叶卢庆的博客

建立合适的坐标系,写出中心投影的造像方程式

我们尝试建立以点$Z$为射影中心,从平面$E\to \overline{E}$的中心射影的造像方程式.为此在两个平面内建立恰当的平面直角坐标系,且两个平面直角坐标系的单位长度一样长.一种很容易想到的建立坐标系的方式如图1所示.即以平面$E$和平面$\overline{E}$的交线$s$为$y$轴(以及$\overline{y}$轴).过点$Z$作面$E$和$\overline{E}$的公垂面,公垂面与$s$的交点设为两个平面直角坐标系的原点,分别记为$O$和$\overline{O}$.
图1
然后,分别在平面$E$和$\overline{E}$内作点$O(\overline{O})$的垂线,作为$x$轴和$\overline{x}$轴,且当过点$Z$分别作平面$E$和$\overline{E}$的平行面时,平行面都要与$x$轴和$\overline{x}$轴的正半轴相交.交点分别设为$V$和$\overline{F}$.设线段$ZV$长度为$a$,线段$Z\overline{F}$长度为$d$.

建立了这样的两个坐标系后,由相似三角形的知识,可以推得该中心投影的造像方程式为
\begin{equation}
\label{eq:1}
\overline{x}=\frac{ax}{x-d},\overline{y}=\frac{-dy}{x-d}.
\end{equation}
下面我们考虑如下问题,是否可以建立不同的坐标系,使得到的中心投影的造像方程式比方程式\eqref{eq:1}更加简洁呢?容易发现,如果令$x’=x-d$,$\overline{x}’=\overline{x}-a$,$y’=-y,\overline{y’}=\overline{y}$,则可得
\begin{equation}\label{eq:2}
\overline{x}’=\frac{ad}{x’},\overline{y}’=\frac{d\overline{y}}{x’}.
\end{equation}
如此得到的中心投影的造像方程式在形式上是更简单的.这意味着,如果我们将$E$平面上的$x$轴沿着$x$轴正方向平移$d$个单位,将$\overline{E}$平面上的$x’$轴沿着$x’$轴正方向平移$a$个单位,再将$E$平面上的$y$轴反向.在这样形成的两个新的坐标系下,所得的中心投影的造像方程式会更简单.亦即两个坐标系按照如图2的方式设立,会得到更简单(我觉得应该是最简单的)的造像方程式:
\begin{equation}
\label{eq:3}
\overline{x}=\frac{ad}{x},\overline{y}=\frac{dy}{x}.
\end{equation}
图2
当然,如果把图2中$x,y,\overline{x}$轴都反向,方程式\eqref{eq:3}会保持不变,因此按照如图3所示建立两个坐标系也会得到造像方程式\eqref{eq:3}.
图3