叶卢庆的博客

圆中的调和点列

我们来尝试利用射影几何的知识证明如下事实:

如图1所示,过圆外一点$C$作圆的两条切线,切点分别为$P,Q$.过点$C$的直线与圆交于点$E,F$,且与线段$PQ$交于点$K$.则
\begin{equation}\label{eq:1}
\left.\frac{CF}{CE}\middle/ \frac{KF}{KE}\right.=-1.
\end{equation}

图1
对整个图形进行中心投影变换,不妨设中心投影的轴为直线$PQ$,且把点$C$置于中心投影的没影线(the vanishing line)上,则整个图形经过中心投影后,点$C$会变成无穷远点.图1也将成为如图2所示.其中点$E,F,P,Q,K,C$经过中心投影后分别变为$E’,F’,P’,Q’,K’,C’$,圆经过中心投影后会变成椭圆.

图2
易得椭圆过点$P’$的切线,椭圆过点$Q’$的切线,以及直线$E’F’$,这三条直线互相平行.且直线$P’Q’$的方向和椭圆过点$P’$或$Q’$的切线方向代表椭圆的一对共轭方向.因此
$$
\frac{K’F’}{K’E’}=-1.
$$
且由于$C’$是无穷远点,因此
$$
\frac{C’F’}{C’E’}=1.
$$
于是
$$
\left.\frac{C’F’}{C’E’}\middle/ \frac{K’F’}{K’E’}=-1\right.
$$
而在中心投影下,交比保持不变,即$\left.\frac{CF}{CE}\middle/\frac{KF}{KE}\right.=\left.\frac{C’F’}{C’E’}\middle/\frac{K’F’}{K’E’}\right.$,因此式\eqref{eq:1}成立.这样我们就从中心投影的角度理解了式\eqref{eq:1}.