叶卢庆的博客

从反演变换的观点看一道杭州质检题

下面是杭州$2017$届高三上学期第一次教学质量检测第$19$题.

题目:设点$A,B$分别是$x,y$轴上的两个动点,$AB=1$.若$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{BA}(\lambda>0)$.

  • 求点$C$的轨迹$\Gamma$;
  • 过点$D$作轨迹$\Gamma$的两条切线,切点分别为$P,Q$.过点$D$作直线$m$交轨迹$\Gamma$于不同的两点$E,F$,交$PQ$于点$K$.问是否存在实数$t$,使得$\frac{1}{|DE|}+\frac{1}{|DF|}=\frac{t}{|DK|}$恒成立,并说明理由.

:

  • 设点$A(a,0),B(0,b)$.设点$C(x,y)$,则由题目条件,
    \begin{equation}\label{eq:1}
    a^2+b^2=1
    \end{equation}

    $$
    (x-a,y)=\lambda(a,-b).
    $$
    即$a=\frac{x}{1+\lambda}$,$b=\frac{y}{-\lambda}$,结合关系\eqref{eq:1},可得
    $$
    \frac{x^2}{(1+\lambda)^2}+\frac{y^2}{\lambda^2}=1.
    $$
    此即点$C$的轨迹$\Gamma$.它是一个焦点在$x$轴上的椭圆.$\Box$

  • 这一步我就不使用坐标法做了.只是谈谈它的几何背景.如图1所示,题目等价于问我们是否存在实数$t$,使得
    $$
    \frac{|DK|}{|DE|}+\frac{|DK|}{|DF|}=t
    $$
    恒成立.

图1
我们知道,在仿射变换下,共线和平行线段的比例保持不变,切线依然是切线,而椭圆可以变成圆.因此这一问可以等价转化为如下关于圆的问题:

图2

如图2所示,过圆$\Gamma’$外点$D’$作圆的两条切线,切点分别为$P’,Q’$.过点$D’$作直线$m’$交圆于不同两点$E’,F’$.交$P’Q’$于点$K’$.问是否存在实数$t$,使得
\begin{equation}
\label{eq:2}
\frac{|D’K’|}{|D’E’|}+\frac{|D’K’|}{|D’F’|}=t.
\end{equation}

下面我们利用反演变换证明,这样的$t$不仅存在,而且始终等于$2$.如图3所示,以点$D$为圆心作一个半径为$1$的圆.作线段$P’Q’$关于该圆的反演像,得到圆弧$P’’Q’’$.作圆$\Gamma’$关于该半径为$1$的圆的反演像,得到圆$\Gamma’’$,把圆$\Gamma’’$的圆心也记为点$\Gamma’’$.且点$P’,Q’,E’,F’,K’$关于该半径为$1$的圆的反演点分别记为点$P’’,Q’’,E’’,F’’,K’’$.易得点$P’’,Q’’,E’’,F’’$都在圆$\Gamma’’$上.且直线$D’P’’,D’Q’’$是圆$\Gamma’’$的切线.

图3
由反演变换的性质,以圆弧$P’’Q’’$为一部分的圆会经过点$D’$,记该圆为$O$.易得点$K’’$是圆$O$与直线$D’F’$的交点.且由于$\frac{|D’K’|}{|D’E’|}=\frac{|D’E’’|}{|D’K’’|}$,$\frac{|D’K’|}{|D’F’|}=\frac{|D’F’’|}{|D’K’’|}$,因此式\eqref{eq:2}等价于证明
$$
|D’E’|+|D’F’|=2|D’K’|
$$
恒成立.即证明点$K’’$始终是线段$E’’F’’$的中点.如图4所示.易得圆$O$经过圆$\Gamma’’$的圆心$\Gamma’’$.因此线段$\Gamma’’D’$为圆$O$的直径.为了证明$K’’$是线段$E’’F’’$中点,连接点$\Gamma’’K’’$,由垂径定理,只用证明$\Gamma’’K’’\perp E’’F’’$即可.这是显然的,因为直径所对的圆周角为直角,这表明$\angle \Gamma’’K’’D’$确实是直角.
图4
这样我们就解决了问题1.进而解决了题目的第2问.即这样的$t$始终存在,且等于$2$.