叶卢庆的博客

利用中心投影证明关于抛物线的一个命题

抛物线的如下命题改编自黄友训翻译的《解析几何学》下册,习题26.9:

如图,是抛物线.过抛物线的顶点作抛物线的切线$l_{1}$.过抛物线的顶点作抛物线的直径$l_{2}$(显然$l_1\perp l_2$).点$P_1,P_2$位于抛物线上,且直线$P_1P_2$与直线$l_{1}$交于点$A$,直线$P_1P_2$与直线$l_2$交于点$S$.则$AS^2=AP_1\cdot AP_2$.

图1
这个性质除了能用解析法证明外,还能使用中心投影的方法来证明.如图2所示,是两个垂直平面$\alpha$和$\beta$.在平面$\alpha$上放置一个圆,使得圆与两个平面的交线相切.

图2

然后在两个平面外取点$I$,其中点$I$与圆的最高点的连线平行于平面$\beta$,同时垂直于平面$\alpha$.则以点$I$为投影中心,平面$\alpha$上的圆会被中心投影为平面$\beta$上的抛物线.且抛物线的顶点就位于圆的最低点.设$AP_2’S’P_{1}’\frac{I}{\wedge}AP_{2}SP_1$,其中点$P_1’,P_2’$位于圆上,$S’$位于圆的直径上,其中该直径垂直于平面$\beta$.

由Menelaus定理,
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{AS^2}{AP_1\cdot AP_2}=\frac{AS}{AP_1}\cdot \frac{AS}{AP_2}
=\left(\frac{IP_1’}{P_1’P_1}\cdot \frac{S’S}{IS’}\right)\cdot
\left(\frac{IP_2’}{P_2’P_2}\cdot \frac{S’S}{IS’}\right)
=\left.\left(\frac{IP_1’}{P_1’P_1}\cdot \frac{IP_2’}{P_2’P_2}\right)\middle/\left(\frac{IS’}{S’S}\right)^{2}\right.
\end{equation}
易知,只要点$P_1’,P_2’,S’$保持不动,且点$I$的高度不变,该比例就不会变.因此,我们把点$I$保持高度不变,移动到平面$\alpha$上.则情形变为如图3所示.

图3

我们只用在图3中计算比例\eqref{eq:1}即可.由与圆有关的一个比例中项性质易得,在图3中,
$$
\left.\left(\frac{IP_1’}{P_1’P_1}\cdot \frac{IP_2’}{P_2’P_2}\right)\middle/\left(\frac{IS’}{S’S}\right)^{2}\right.=1.
$$
这样我们就证明了比例式\eqref{eq:1}的结果是$1$.于是该关于抛物线的命题得证.