叶卢庆的博客

与圆有关的一个比例中项性质

我发现了与圆有关的如下性质:

如图,点$C_1,C_3$在圆$O$上,且直线$C_1C_3$经过圆心.过$C_1,C_3$分别作圆的切线$l_1,l_3$.过圆上任意一点$A_2$作$l_1,l_3$的垂线,垂足分别为$A_1,A_3$.过圆上另一点$B_2$作$l_1,l_3$的垂线,垂足分别为$B_1,B_3$.且直线$A_2B_2$与直线$C_1C_3$交于点$C_2$.则$$\frac{A_1A_2}{A_2A_3}\cdot \frac{B_1B_2}{B_2B_3}=\left(\frac{C_1C_2}{C_2C_3}\right)^2.$$

图1

证明:设直线$A_2B_2$与$l_1$交于点$Q$,与$l_3$交于点$P$.则
\begin{align*}
\frac{A_1A_2}{A_2A_3}\cdot
\frac{B_1B_2}{B_2B_3}&=\frac{A_1Q}{PA_3}\cdot \frac{B_1Q}{PB_3}
\\&=\frac{A_1Q\cdot B_1Q}{PA_3\cdot PB_3}
\\&=\frac{A_2Q\cdot B_2Q(\cos\angle A_1QA_2)^{2}}{A_2P\cdot
B_{2}P(\cos\angle A_2PA_3)^2}
\\&=\frac{A_2Q\cdot B_2Q(\cos\angle A_1QA_2)^{2}}{A_2P\cdot
B_{2}P(\cos\angle A_1QA_2)^2}
\\&=\frac{A_2Q\cdot B_2Q}{A_2P\cdot B_2P}
\\&=\frac{C_1Q^2}{C_3P^2}
\\&=\left(\frac{C_1C_2}{C_2C_{3}}\right)^2.
\end{align*}