叶卢庆的博客

关于旋转变换的一个结论

我发现了与旋转变换有关的如下结论:

点$A$绕点$O_1$,逆时针旋转$\alpha$角到点$B$.点$B$绕点$O_2$,逆时针旋转$\beta$角到点$C$,其中$O_1\neq O_2$.且$0\leq \alpha,\beta<2\pi$.以$O_{1}$为圆心,$|O_1A|$为半径作圆$O_1$.以$O_2$为圆心,$|O_2C|$为半径作圆$O_2$.圆$O_1$和圆$O_2$交于$B,D$两点.圆$O_3$经过$ADC$三点.则无论点$O_1,O_2,A,B,C$的位置,只要$\alpha$和$\beta$不变,则三角形$O_1O_2O_3$的形状就不变.

图1
证明:注意到,直线$O_1O_3$始终垂直于直线$AD$,直线$O_1O_2$始终垂直于直线$BD$,而直线$AD$与$BD$之间的夹角始终是$\frac{|\alpha|}{2}$,因此直线$O_1O_3$与直线$O_1O_2$的夹角也始终是$\frac{|\alpha|}{2}$(当$0\leq \alpha\leq\pi$时),或者是$\pi-\frac{|\alpha|}{2}$(当$\pi<\alpha<2\pi$时).直线$O_2O_3$和直线$O_1O_2$的夹角也始终是$\frac{|\beta|}{2}$(当$0\leq\beta\leq \pi$时),或者是$\pi-\frac{|\beta|}{2}$(当$\pi<\beta<2\pi$时).而$\alpha,\beta$是给定的,这意味着三角形$O_1O_2O_3$的形状是给定的,与$O_1,O_2,A,B,C$的位置无关.
图2