叶卢庆的博客

数学小品:从行列式的观点看双曲线方程

首先,我们来看$xOy$平面直角坐标系中的双曲线方程
\begin{equation}
\label{eq:1}
x^2-y^2=1.
\end{equation}
将方程\eqref{eq:1}改写成行列式的形式:
\begin{equation}
\label{eq:2}
\begin{vmatrix}
x&y\\
y&x
\end{vmatrix}=1.
\end{equation}
而利用二维行列式的几何意义(平行四边形的有向面积),方程\eqref{eq:2}表明双曲线\eqref{eq:1}有如下几何性质:
图1
如图,对于双曲线\eqref{eq:1}上的任意一点$P(x,y)$,该点关于双曲线渐近线$y=x$的对称点为$P’(y,x)$.由行列式的几何意义,三角形$OPP’$的面积为$\frac{1}{2}
\begin{vmatrix}
x&y\\
y&x
\end{vmatrix}
=\frac{1}{2}$.而三角形$OPP’$的面积显然和矩形$ONPM$的面积相等,其中$M,N$是点$P$作两条渐近线的垂线而得的垂足.

这表明,过双曲线\eqref{eq:1}上的任意一点,作两渐近线的垂线,得到的矩形的面积始终为$\frac{1}{2}$.

而双曲线\eqref{eq:1}在矩阵$
\begin{pmatrix}
a&0\\
0&b
\end{pmatrix}
(a,b>0)$的作用下会变成双曲线
\begin{equation}
\label{eq:3}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
\end{equation}
同时矩形$ONPM$在同一个矩阵的作用下会变成平行四边形$O’N’P’M’$.由线性变换的性质,该平行四边形的面积是
$$
\frac{1}{2}
\begin{vmatrix}
x&y\\
y&x
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
a&0\\
0&b
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}ab.
$$
于是我们得到最终的结论:过双曲线\eqref{eq:3}上的任意一点,作两渐近线的平行线,所得的平行四边形的面积是$\frac{1}{2}ab$.