叶卢庆的博客

四面体中的Desargues构型

在系列博文四面体的一个射影性质,四面体的又一个射影性质,使用射影方法证明四面体的射影性质中,我们探讨了四面体中的一系列共点共线问题.下面我们来发掘这些共点共线问题中蕴含的Desargues构型.

首先,我们来看博文四面体的一个射影性质中的图1.图1的构造方法在此略述,读者可以参照那篇博文.
图1
把图中的三角形$EFD$重新标记为三角形$PQR$,把三角形$BCG$重新标记为三角形$P_1Q_1R_1$.则我们提炼出了如图2所示的图像.

图2
在图2中,是空间三角形$PQR$和空间三角形$P_1Q_1R_1$.其中直线$PP_1$和直线$QQ_1$交于点$A$.直线$PR$和直线$P_1R_1$交于点$O_2$.直线$QR$和直线$Q_1R_1$交于点$O_3$.利用这些条件,便足以推出点$A,R_1,R$是共线的三点.这是因为,直线$AR_1$是平面$AP_1R_1$和平面$AQ_{1}R_1$的交线.而点$R$在直线$PO_2$上,因此在平面$AP_1R_1$上,点$R$在直线$QO_3$上,因此也在平面$AQ_1R_1$上.于是点$R$在两个平面的交线$AR_1$上.

在图2中,直线$PQ$和直线$P_1Q_1$交于点$K$,则点$O_2,O_3,K$共线.以上这些要素正好就是Desargues定理中的图形.

更详细地说,如果我们把图2中地空间图形平面化.则得到图3.
图3
图3是一个平面,平面上有三角形$PQR$和$P_1Q_1R_1$.其中直线$PP_1,QQ_1,RR_1$交于点$A$.直线$PR$和$P_1R_1$交于点$O_2$,直线$QR$和$Q_1R_1$交于点$O_3$,直线$PQ$和$P_1Q_1$交于点$K$.则$O_2,O_3,K$共线.这正是Desargues定理.