叶卢庆的博客

四面体的又一个射影性质

在博文四面体的一个射影性质里,我们证明了四面体的如下射影性质:
图1

定理1:如图1,是四面体$A-BCD$.在四面体的侧棱$AB,AC,AD$上,分别有点$E,F,G$.而在底面的棱$BC,CD,BD$上,分别有点$H,I,J$.且直线$AH,BF,CE$交于一点,直线$AI,CG,DF$交于一点,直线$AJ,BG,DE$也交于一点.则直线$BI,CJ,DH$交于一点.

现在,设直线$AH$与直线$BF$交于点$O_{1}$,直线$AI$与直线$CG$交于点$O_{3}$,直线$AJ$与直线$BG$交于点$O_{2}$,直线$CJ$与直线$BI$交于点$O_{4}$.

设$\frac{AE}{EB}=\lambda_1,\frac{BH}{HC}=\lambda_2$,则由Ceva定理,$\frac{AF}{FC}=\lambda_1\lambda_2$.设$\frac{CI}{ID}=\lambda_3$,则$\frac{AG}{GD}=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$.且$\frac{JB}{DJ}=\lambda_2\lambda_3$.

下面我们来证明如下四面体的又一个射影性质:
图2

定理2:如图2,直线$AO_4,BO_3,CO_2,DO_1$共点.

此性质若从质心的角度来理解则为显然.下面我们从纯几何的角度来理解.为此,连接点$EI$.我们先来证明一个引理

图3

引理:如图3, 直线$EI,CO_2,DO_1$三线共点.

证明:可知$\frac{CO_1}{O_1E}=\frac{CH}{HB}+\frac{CF}{FA}=\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}$,$\frac{DO_2}{O_2E}=\frac{DG}{GA}+\frac{DJ}{JB}=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_2\lambda_{3}}$.(具体理由见这幅图片,以及博文使用质心的观点理解Ceva定理的结尾.)因此,
$$
\frac{CO_1}{O_1E}\cdot \frac{EO_2}{O_2D}\cdot
\frac{DI}{IC}=\left(\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_{1}\lambda_{2}}\right)\cdot
\frac{1}{\frac{1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_{2}\lambda_{3}}}\cdot \frac{1}{\lambda_3}=1.
$$
因此由Ceva定理的逆定理,可得直线$EI,CO_2,DO_1$共点.$\Box$

设$EI,CO_2,DO_1$交于点$O$.下面我们来证明,直线$AO_4$也经过点$O$.为此要使用Menelaus定理的逆定理.

证明:
\begin{align*}
\frac{IO_4}{O_4B}\cdot \frac{BA}{AE}\cdot
\frac{EO}{OI}&=\frac{1}{\frac{BJ}{JD}+\frac{BH}{HC}}\cdot
\frac{BA}{AE}\cdot
\left(\frac{EO_1}{O_1C}+\frac{EO_2}{O_2D}\right)
\\&=\frac{1}{\frac{BJ}{JD}+\frac{BH}{HC}}\cdot
\frac{BA}{AE}\cdot\left(\frac{1}{\frac{CF}{FA}+\frac{CH}{HB}}+\frac{1}{\frac{DG}{GA}+\frac{DJ}{JB}}\right)
\\&=\frac{1}{\lambda_2\lambda_3+\lambda_{2}}\cdot
\left(1+\frac{1}{\lambda_{1}}\right)\cdot
\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_{2}}}+\frac{1}{\frac{1}{\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}}+\frac{1}{\lambda_{2}\lambda_{3}}}\right)
\\&=1.
\end{align*}
因此由Menelaus定理的逆定理,可得点$A,O,O_4$三点共线.也即,直线$AO_4$过点$O$.$\Box$

这样,我们就证明了直线$AO_4,CO_2,DO_1$交于一点$O$.完全类似的论证可以证明直线$BO_3,AO_4,CO_2$也交于点$O$.这样,我们就证明了四条直线$AO_4,BO_3,CO_2,DO_1$共点于$O$.

不仅如此,将引理和定理2结合,我们实际上证明了$7$条直线$AO_4,BO_3,CO_2,DO_1,EI,HG,FJ$共点于$O$!