叶卢庆的博客

使用射影方法证明四面体的射影性质

在博文四面体的又一个射影性质中,我们证明了四面体的如下射影性质:

图1

如图1,是四面体$A-BCD$.在四面体的侧棱$AB,AC,AD$上,分别有点$E,F,G$.而在底面的棱$BC,CD,BD$上,分别有点$H,I,J$.且直线$AH,BF,CE$交于一点$O_{1}$,直线$AI,CG,DF$交于一点$O_{3}$,直线$AJ,BG,DE$交于一点$O_{2}$.直线$BI,CJ,DH$交于一点$O_4$(直线$BI,CJ,DH$交于一点是已经在博文四面体的一个射影性质中证明的事实).则直线$AO_4,BO_3,CO_2,DO_1$交于一点$O$.且直线$EI,HG,FJ$也交于同一点$O$.

在那篇博文里,我们是使用了涉及到线段长度的Ceva定理和Menelaus定理以及它们的逆定理来证明这个性质的.但是这个性质只涉及到点共线和线共点,纯粹是一个射影性质,应当有一个射影证明.所以,在此,我们给出该性质的射影证明.

证明:设直线$BC,EF$交于点$K$,直线$CO_2$和$BO_3$交于点$O$.在博文四面体的一个射影性质的后半部分,我们已经证明了点$K,O_3,O_2$共线,点$K,I,J$共线.由此得到$H(B,C;K,H)$.因此由完全四边形的性质,直线$HG$也经过点$O$.

下面我们证明,点$A,O,O_4$三点共线.这是因为,点$O$位于直线$BO_3$上,因此点$O$位于平面$ABI$上.点$O$位于直线$CO_2$上,因此点$O$位于平面$ACJ$上.因此点$O$位于平面$ABI$与平面$ACJ$的交线$AO_4$上.

完全类似的论证可以证明直线$DO_1$也经过点$O$.以及直线$EI,FJ$也经过点$O$.$\Box$