叶卢庆的博客

四面体的一个射影性质

在探究Ceva定理在三维空间的推广的时候,我发现了如下四面体的射影性质.之所以说它是射影性质,是因为这个命题只涉及到点共线和线共点.性质如下:

如图,是四面体$A-BCD$.在四面体的侧棱$AB,AC,AD$上,分别有点$E,F,G$.而在底面的棱$BC,CD,BD$上,分别有点$H,I,J$.且直线$AH,BF,CE$交于一点,直线$AI,CG,DF$交于一点,直线$AJ,BG,DE$也交于一点.则直线$BI,CJ,DH$交于一点.

图1
此性质可以用Ceva定理及其逆定理证明如下:

证明: 因为$AH,BF,CE$三线共点,因此由Ceva定理,
$$
\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BH}{HC}\cdot \frac{CF}{FA}=1,
$$
同理,
$$
\frac{AF}{FC}\cdot \frac{CI}{ID}\cdot \frac{DG}{GA}=1,
$$
$$
\frac{AG}{GD}\cdot \frac{DJ}{JB}\cdot \frac{BE}{EA}=1.
$$
将上面三式相乘,可得
$$
\frac{BH}{HC}\cdot \frac{CI}{ID}\cdot \frac{DJ}{JB}=1.
$$
由Ceva定理的逆定理,可得$BI,CJ,DH$三线共点.$\Box$

但是既然这是一个纯粹的射影几何定理,能否不用涉及到了线段长度的Ceva定理来证明呢?我们给出如下第二个纯粹基于射影几何的证明:

图2
证明2:如图2所示,设直线$AH$与直线$BF$交于点$O_1$,直线$AI$与直线$CG$交于点$O_3$,直线$AJ$与直线$BG$交于点$O_2$,直线$CJ$与直线$BI$交于点$O_{4}$.我们的目标是证明直线$DO_{4}$过点$H$.

设直线$EF$与直线$BC$交于点$K$(当$EF\parallel BC$时,点$K$是无穷远点).下面我们先来证明直线$O_2O_3$也经过点$K$.这是因为,点$K$在直线$EF$上,因此也在平面$EFD$上.点$K$在直线$BC$上,因此也在平面$BCG$上,因此点$K$在平面$EFD$和平面$BCG$的交线$O_2O_3$上.

我们再来证明,直线$IJ$也经过点$K$.这是因为,点$K$在直线$BC$上,因此点$K$在平面$BCD$上.点$K$在直线$O_2O_3$上,因此点$K$在平面$AIJ$上.因此点$K$在平面$BCD$和$AIJ$的交线$IJ$上.

我们发现,研究完全四边形$BEFC$时,有$H(B,C;K,H)$,即$B,C,K,H$形成调和点列,点$H$是第四调和点.且点$K$也是完全四边形$BJIC$的一个顶点,因此点$H$应当也在直线$DO_4$上.这样就证明了直线$DH$,$BI,CJ$三线共点.证完.$\Box$