叶卢庆的博客

平行六面体的一个性质

我琢磨出了如下结果:

定理:如图1,是平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$.一平面与平行六面体的棱$AB,AD,AA_1$分别交于点$E,F,G$.平面$EFG$与直线$AC_1$交于点$H$.则$$\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}+\frac{AA_1}{AG}=\frac{AC_1}{AH}.$$

图1
这个结果其实是从下面的结果推广而来.而下面的这个结果来自上海教育出版社的中小学扩展型课程教材《平面向量与几何》.

引理:已知:如图2,点$E,F$分别在平行四边形$ABCD$的边$AB,AD$上,$EF$与对角线$AC$相交于点$G$.求证:
$$
\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AG}.
$$
图2
下面,我们就从该引理出发,来证明上面的定理.

证明: 如图3所示,连接$AB_1$,与$GE$交于点$I$.再连接$FI$,则直线$FI$必过点$H$.这是因为点$H$既位于平面$EFG$上,又位于直线$AC_1$上,因此点$H$位于平面$EFG$和平面$AB_1C_1D$的交线上,即位于直线$FI$上.由引理,
$$
\frac{AA_1}{AG}+\frac{AB}{AE}=\frac{AB_1}{AI},
$$

$$
\frac{AB_1}{AI}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC_1}{AH},
$$
两式结合,即可得
$$
\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}+\frac{AA_1}{AG}=\frac{AC_1}{AH}.
$$
图3

其实,也可以用向量法来轻松证明定理.如下:

证明2:设$\overrightarrow{AB}=\lambda_1\overrightarrow{AE}$,$\overrightarrow{AD}=\lambda_2\overrightarrow{AF}$,$\overrightarrow{AA_1}=\lambda_3\overrightarrow{AG}$.则
$$
\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\lambda_1\overrightarrow{AE}+\lambda_2\overrightarrow{AF}+\lambda_3\overrightarrow{AG}.
$$
设$\overrightarrow{AH}=\lambda\overrightarrow{AC_1}$,则
$$
\overrightarrow{AH}=\lambda(\lambda_1\overrightarrow{AE}+\lambda_2\overrightarrow{AF}+\lambda_3\overrightarrow{AG}).
$$
由于点$E,F,G,H$共面,因此$\lambda(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)=1$,即$\lambda=\frac{1}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}$.也即,$AC_1$的长度是$AH$长度的$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$倍.顺便可得,
$$
\overrightarrow{AH}=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\overrightarrow{AE}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\overrightarrow{AF}+\frac{\lambda_3}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\overrightarrow{AA_1}.
$$