叶卢庆的博客

使用重心的观点理解一道向量题

我们来看一道向量题:

如图,是平面四边形$ABCD$,满足$\overrightarrow{AH}=\lambda \overrightarrow{AD},\overrightarrow{BI}=\lambda \overrightarrow{BC}$.$\overrightarrow{AE}=\mu\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DC}$.连接$EF,HI$,交于点$G$.求证:$\overrightarrow{HG}=\mu\overrightarrow{HI},\overrightarrow{EG}=\lambda\overrightarrow{EF}$.

图1

下面我们使用重心的观点来理解该题的结论.把题目中涉及的所有点都当成质点.设点$E$是质点组$A,B$的质心,且$m(E)=m(A)+m(B)$.点$H$是质点组$A,D$的质心,且$m(H)=m(A)+m(D)$。点$F$是质点组$D,C$的质心,且$m(F)=m(D)+m(C)$.点$I$是质点组$B,C$的质心,且$m(I)=m(B)+m(C)$.其中对于任意一个点$X$来说,$m(X)$表示该点的质量.

由于$\overrightarrow{AE}=\mu\overrightarrow{AB}$,$DF=\mu\overrightarrow{DC}$,因此
$$
m(A):m(B)=m(D):m(C)=1-\mu:\mu.
$$
由于$\overrightarrow{AH}=\lambda\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{BI}=\lambda\overrightarrow{BC}$,因此也有
$$
m(A):m(D)=m(B):m(C)=1-\lambda:\lambda.
$$
基于以上关系,不妨设
$$
m(A)=(1-\mu)(1-\lambda),m(B)=\mu(1-\lambda),m(C)=\mu\lambda,m(D)=(1-\mu)\lambda.
$$

$$
m(E)=m(A)+m(B)=1-\lambda,m(F)=m(C)+m(D)=\lambda,
$$
$$
m(I)=m(B)+m(C)=\mu,m(H)=m(A)+m(D)=1-\mu.
$$
点组$A,B,C,D$的质心,就是点组$E,F$的质心,也是点组$H,I$的质心.而点组$E,F$的质心肯定位于直线$E,F$上,点组$H,I$的质心肯定位于直线$HI$上.这表明,点组$A,B,C,D$的质心位于直线$EF$与$HI$的交点处,也即位于点$G$.

于是,点组$E,F$的质心也是在点$G$.由于$m(E):m(F)=1-\lambda:\lambda$,因此$\overrightarrow{EG}=\lambda\overrightarrow{EF}$.

于是,点组$H,I$的质心也是在点$G$.由于$m(H):m(I)=1-\mu:\mu$,因此$\overrightarrow{HG}=\mu\overrightarrow{HI}$.

这样,我们就利用重心的观点证明了这道向量题.