叶卢庆的博客

理解二重向量积公式

设$\mathbf{a,b,c}$是三维欧式空间$\mathbf{R}^3$中的三个向量,双重向量积公式表明,
\begin{equation}\label{eq:1}
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a}.
\end{equation}
下面我们尝试理解双重向量积公式背后的几何直观.我们默认已经知道了向量积关于向量加法的分配律的几何直观(见二阶行列式线性性的几何意义).不妨让向量$\mathbf{c}$位于向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf{b}$张成的二维线性空间,这是因为任意向量$\mathbf{c}$都可以表示为$\lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{b}+k\mathbf{d}$,其中向量$\mathbf{d}$与向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$都正交.由向量积关于向量加法的分配律,向量$\mathbf{d}$并不会影响$(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}$的结果,更具体地,是因为
$$
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times \mathbf{c}=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times(\lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{b}+k\mathbf{d})=\lambda(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a}+\mu(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{b}.
$$
为了理解式\eqref{eq:1}的几何直观,我们先来做一个特例,就是理解下面的式子:
\begin{equation}\label{eq:2}
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a}=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})\mathbf{a}
\end{equation}
的几何直观.式\eqref{eq:2}等价于
\begin{equation}
\label{eq:3}
(\mathbf{e}_{a}\times\mathbf{b})\times \mathbf{e}_a=\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot\mathbf{e}_a)\mathbf{e}_{a},
\end{equation}
其中$\mathbf{e}_a=\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$.式\eqref{eq:3}的几何直观是显然的,如图1所示.
图1
用类似的图示,我们可以理解
\begin{equation}
\label{eq:4}
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times \mathbf{b}=(\mathbf{a}\cdot
\mathbf{b})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{b})\mathbf{a}.
\end{equation}
其实式\eqref{eq:4}也可以从式\eqref{eq:2}结合向量积的性质直接推出.

下面我们着手来理解式\eqref{eq:1}.由于$\mathbf{c}$位于$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$张成的二维子空间上,因此设$\mathbf{c}=p\mathbf{a}+q\mathbf{b}$.我们把式\eqref{eq:2}和式\eqref{eq:4}写成行列式的形式:
\begin{equation}
\label{eq:5}
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}&\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix},
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{b}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}&\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix}.
\end{equation}

\begin{align*}
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}&=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times(p\mathbf{a}+q\mathbf{b})\\&=p(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a}+q(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{b}
\\&=p \begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}&\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix}+q \begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}&\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix}
\\&=
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot (p\mathbf{a})&\mathbf{b}\cdot(p\mathbf{a})\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot(q\mathbf{b})&\mathbf{b}\cdot(q\mathbf{b})\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix}
\\&=
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot(p\mathbf{a}+q\mathbf{b})&\mathbf{b}\cdot(p\mathbf{a}+q\mathbf{b})\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix}
\\&=
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}&\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{vmatrix}
\\&=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a}.
\end{align*}
注意,上面我使用了二阶行列式的定义和性质,但是我并不明白像式\eqref{eq:5}中出现的行列式的几何意义是什么,对我来说,它们仅有代数上的意义.