叶卢庆的博客

Lagrange恒等式

Lagrange恒等式是说:
\begin{equation}
\label{eq:1}
\left(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD}\right)=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\\
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}
\end{vmatrix}.
\end{equation}
下证之.令$\overrightarrow{OA’}=\overrightarrow{OA}-t\overrightarrow{OB}$,使得$\overrightarrow{OA’}\perp\overrightarrow{OB}$.易得这样的$t$是唯一存在的.且,由向量积的性质,易得
\begin{equation}
\label{eq:2}
(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD})=(\overrightarrow{OA’}\times\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD}).
\end{equation}
而且,由行列式的性质,我们有
\begin{equation}
\label{eq:3}
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}\\
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{OA’}\cdot\overrightarrow{OC}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\\
\overrightarrow{OA’}\cdot\overrightarrow{OD}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}
\end{vmatrix}.
\end{equation}
关系式\eqref{eq:2}和\eqref{eq:3}表明,Lagrange恒等式\eqref{eq:1}等价于
\begin{equation}
\label{eq:4}
\left(\overrightarrow{OA’}\times\overrightarrow{OB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD}\right)=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{OA’}\cdot\overrightarrow{OC}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\\
\overrightarrow{OA’}\cdot\overrightarrow{OD}&\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}
\end{vmatrix}.
\end{equation}
令$\overrightarrow{OA’’}=\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$,$\overrightarrow{OB’}=\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$,则由向量积和行列式的性质,式\eqref{eq:4}等价于
\begin{equation}
\label{eq:5}
\left(\overrightarrow{OA’’}\times\overrightarrow{OB’}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OD}\right)=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{OA’’}\cdot\overrightarrow{OC}&\overrightarrow{OB’}\cdot\overrightarrow{OC}\\
\overrightarrow{OA’’}\cdot\overrightarrow{OD}&\overrightarrow{OB’}\cdot\overrightarrow{OD}
\end{vmatrix},
\end{equation}
其中$(\overrightarrow{OA’’},\overrightarrow{OB’})$形成单位正交基.结合行列式的几何意义(平行四边形的有向面积),等式\eqref{eq:5}的右边是向量$\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}$张成的平行四边形在向量$\overrightarrow{OA’’},\overrightarrow{OB’}$张成的平面上的投影所得的平行四边形的有向面积,这恰好就是该式左边的几何意义.因此Lagrange恒等式成立.