叶卢庆的博客

重新理解调和点列的交比为-1

如图,$\triangle ABC$被一直线$FD$所截.其中点$F$在线段$AB$上,$E$在$AC$上,$D$在直线$BC$上.
图1
设直线$BE$和直线$FC$交于点$G$.直线$AG$和直线$BC$交于点$H$.由完全四边形的性质,可知一旦点$B,C,D$固定,则无论点$A$在何处,以及点$E,F$在何处,并不影响点$H$的位置.我们说$H(B,C;D,H)$.事实上,通过中心投影,使得点$D$成为没影点,且记任意一点$X$经过中心投影后变成点$\overline{X}$.如图2所示,
图2
在图2中,直线$\overline{BC}$平行于直线$\overline{EF}$.则显然点$\overline{H}$是线段$\overline{BC}$的中点(事实上只用通过另一个中心投影使得点$\overline{A}$是没影点,同时保持$\overline{EF}$和$\overline{BC}$的平行性不变即可直接看出这一点).

既然点$A$的位置不影响点$H$的位置,则让点$A$趋于无穷远,点$H$的位置始终不会被影响.取极限情形,点$H$的位置应当也不会被影响.在这个极限情形,图1变成图3.
图2
在图3中,直线$BF,HG,CE$两两平行.显然,
$$
\frac{BD}{DC}=\frac{FB}{CE}=\frac{BG}{EG}=-\frac{BH}{HC}.
$$
因此,在图1中,也有
$$
\frac{BD}{DC}=-\frac{BH}{HC}\iff \frac{BH}{BD}\backslash \frac{CH}{CD}=-1
$$
此即为调和点列交比为$-1$.