叶卢庆的博客

射影几何基本定理的一个特例

射影几何基本定理叙述如下:

射影几何基本定理:设$A,B,C$是共线的三个点,$A’,B’,C’$也是共线的三个点.则存在唯一的射影$T$,使得$T(A)=A’,T(B)=B’,T(C)=C’$.

由于存在性的证明十分容易,我们只考虑唯一性.由于任意一个射影$T$都由有限个透视复合而成,因此在证明射影几何基本定理之前,我们在这篇文章里先证明它的一个特例:

命题1:设$A,B,C$是共线的三个点,$A’,B’,C’$也是共线的三个点.且存在透视$T$,使得$T(A)=A’$,$T(B)=B’$,$T(C)=C’$,以及存在透视$P,Q$,使得$Q(A)=A_{1}$,$Q(B)=B_{1}$,$Q(C)=C_{1}$,$P(A_1)=A’$,$P(B_1)=B’$,$P(C_1)=C’$,则$T=P\circ Q$,其中$P\circ Q$表示两个透视$P,Q$的复合,比如,$P\circ Q(A)=P(Q(A))$.

图1

证明:如图1所示,不妨设透视$T$的透视中心为$O$,透视$Q$的透视中心为$O_1$,透视$P$的透视中心为$O_2$.则为了证明$T=P\circ Q$,只用在直线$ABC$上任取一点$D$,记$Q(D)=D_1$,$P(D_1)=D’$,只用证明$T(D)=D’$即可.由于$O_1,O_2$重合时,命题1显然成立,因此只考虑点$O_1,O_2$两两互异的情形.分成以下情况讨论.

情况1:直线$A’C’$与直线$AC$的交点不位于直线$O_1O_2$上

此时先证点$O_2,O_1,O$三点共线.为此,只用证明点$O$在直线$O_2O_1$上.设我们所探讨的图形所在的平面为平面$\pi$.在空间中选取一个不位于$\pi$上的点,以该点为投影中心,将平面$\pi$上的所有图像中心投影到另一个平面$\pi’$上,同时使得直线$O_1O_2$成为中心投影的没影线,即点$O_1,O_2$成为没影点,它们在平面$\pi’$上不对应任何一个点.我们的目标是证明,点$O$也是没影点.

经过这样的投影,平面$\pi’$上的一些图形如图2所示.其中平面$\pi$上某个点$P$投影到平面$\pi’$上的对应点用$\overline{P}$表示.在图2中,直线$\overline{A_1A’},\overline{B_1B’},\overline{C_1C’}$两两互相平行,直线 $\overline{A_1A},\overline{B_1B},\overline{C_1C}$也两两互相平行.但是直线$\overline{A’C’},\overline{AC}$不平行.此时,直线$\overline{AA’},\overline{BB’},\overline{CC’}$必两两互相平行(否则,直线$\overline{AA’},\overline{BB’},\overline{CC’}$交于一点,结合$\overline{A’C’},\overline{AC}$不平行,会导致$\frac{|\overline{A’B’}|}{\overline{|B’C’|}}\neq \frac{|\overline{AB}|}{\overline{|BC|}}$,矛盾).因此,点$O$是没影点.

可见点$O_2,O_1,O$三点共线.再把Desargues定理用在$\triangle O_2A’C’$和$\triangle O_1AC$上,可得直线$AC,A’C’,A_1C_1$三线共点.再对三个三角形$\triangle AA_1A’$,$\triangle DD_1D’$和$\triangle CC_1C’$同时使用Desargues定理,可得$D’,D,O$确实共线.因此命题1成立.
图2

情况2:直线$A’C’$与直线$AC$的交点位于直线$O_1O_2$上

此时,点$O_2,O_1,O$未必共线.如图所示.但是这并不妨碍命题1成立.
图5

仍然如情形1中所述,设我们所探讨的图形所在的平面为平面$\pi$.在空间中选取一个不位于$\pi$上的点,以该点为投影中心,将平面$\pi$上的所有图像中心投影到另一个平面$\pi’$上,同时使得直线$O_1O_2$成为中心投影的没影线,即点$O_1,O_2$成为没影点,它们在平面$\pi’$上不对应任何一个点.经过这样的投影,平面$\pi’$上的一些图形如图3所示.其中平面$\pi$上某个点$P$投影到平面$\pi’$上的对应点用$\overline{P}$表示.在图3中,直线$\overline{A_1A’},\overline{B_1B’},\overline{C_1C’}$两两互相平行,直线 $\overline{A_1A},\overline{B_1B},\overline{C_1C}$也两两互相平行.直线$\overline{A’C’},\overline{AC}$也互相平行.此时,直线$\overline{AA’},\overline{BB’},\overline{CC’}$可能互相平行,也可能交于一点$\overline{O}$.无论是哪种情况,在直线$AC$上选一点$D$,连接$O_1D$交直线$A_1C_1$于点$D_1$.再连接$O_2D_1$交直线$A’C’$于点$D’$.则点$\overline{D’}$和点$\overline{D_1}$的连线必定经过点$\overline{O}$.可见,在情形2,命题1仍然成立.

图3
图4