叶卢庆的博客

2012年温州中学自主招生平面几何题

题目:如图1,$AB$为半圆$O$的直径,$M$为半圆内的一点,直线$AM$交半圆$O$于点$C$,直线$BM$交半圆$O$于点$D$,直线$DC$与直线$AB$交于点$P$,$N$为直径$AB$上的一点,且满足$ON\cdot OP=OB^2$,求证:$MN\perp AB$.

图1
图1

证明:如图2,过点$M$作直线$AB$的垂线,垂足为$N’$.只需证$N=N’$.由于$ON\cdot OP=OB^2$,为了证明$N=N’$,只需证点$N’$也满足$ON’\cdot OP=OB^2$.即证$\frac{ON’}{OB}=\frac{OB}{OP}$.由于$OC=OB$,即证
$$
\frac{ON’}{OC}=\frac{OC}{OP}.
$$
即证
$$
\triangle ON’C\sim\triangle OCP.
$$
即证
$$
\angle OCN’=\angle OPC.
$$
由于$\angle OPC=\angle ABD-\angle BDP$,即证
$$
\angle OCN’+\angle BDP=\angle ABD.
$$
由于$\angle BDP=\angle BAC$,即证
$$
\angle OCN’+\angle BAC=\angle ABD.
$$
由于$\angle BAC=\angle ACO$,即证
$$
\angle ABD=\angle OCN’+\angle ACO=\angle ACN’.
$$
即证
$$
\triangle AN’C\sim\triangle AMB,
$$
即证
$$
\angle AMB=\angle AN’C.
$$
由于$\angle AMB=\angle MCB+\angle MBC=90^{\circ}+\angle MBC$,$\angle AN’C=\angle AN’M+\angle MN’C=90^{\circ}+\angle MN’C$,可见即证
\begin{equation}\label{eq:1}
\angle MBC=\angle MN’C.
\end{equation}
由于$\angle MN’C=\angle MCB=90^{\circ}$,因此$M,N’,B,C$四点共圆,可见等式\eqref{eq:1}确实成立.因此命题得证.