叶卢庆的博客

反演变换解一道加拿大竞赛题

题目:给定三圆有公共弦$AB$,$X$是最小圆周上不同于$A,B$的一个动点,直线$AX$与另两圆依次交于$Y$和$Z$点,求证:比值$\frac{XY}{YZ}$不随动点$X$的位置而改变.

图1
证明:如图1所示,三个圆(蓝绿红三色的圆)以$AB$为公共弦.以点$A$为圆心作半径为$1$的圆$A$.再作出三个圆关于圆$A$的反演像,以及点$X,Y,Z,B$关于圆$A$的反演点$X’,Y’,Z’,B’$.

  • 蓝圆关于圆$A$的反演像是直线$Y’B’$,且直线$Y’B’$经过蓝圆与圆$A$之交点.
  • 红圆关于圆$A$的反演像是直线$Z’B’$,且直线$Z’B’$经过红圆与圆$A$之交点.
  • 绿圆关于圆$A$的反演像是直线$X’B’$,且直线$X’B’$经过绿圆与圆$A$之交点.

我们来给线段长度规定正负.不妨让直线$AB$的方向为竖直方向.则直线$XY$上的点必有左右之分.当直线上的点$P$位于点$Q$的左边时,线段$PQ$长度为正,$QP$长度为负.则$XY=XA+AY=\frac{1}{X’A}+\frac{1}{AY’}$,$YZ=YA+AZ=\frac{1}{Y’A}+\frac{1}{AZ’}$.因此
\begin{equation}\label{eq:1}
\frac{XY}{YZ}=\frac{\frac{1}{X’A}+\frac{1}{AY’}}{\frac{1}{Y’A}+\frac{1}{AZ’}}=\frac{Y’A\cdot AZ’-X’A\cdot AZ’}{X’A\cdot AZ’+Y’A\cdot X’A}=\frac{AZ’\cdot Y’X’}{X’A\cdot Y’Z’}=-\left.\frac{AZ’}{AX’}\middle/\frac{Y’Z’}{Y’X’}\right.
\end{equation}
而这正是交比$-R(Z’,X’,A,Y’)$.由于三个圆固定,因此三条直线$B’Y’,B’A,B’Z’,B’X’$也固定,且直线$XY$不经过点$B’$.由交比在射影下的不变性可得,式\eqref{eq:1}不随着直线$XY$变而变.命题得证.