叶卢庆的博客

解一个函数方程

我们来解如下函数方程:

题目:解函数方程
$$
f(x)=\cos \frac{x}{2}f(\frac{x}{2}),
$$
其中$f(x)$为连续函数,且$f(0)=1$.

:当$x\neq 0$时,
\begin{align*}
f(x)&=\cos \frac{x}{2}f(\frac{x}{2})
\\&=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}f(\frac{x}{4})
\\&=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\cos \frac{x}{8}f(\frac{x}{16})
\\&=\cdots
\\&=\lim_{n\to\infty}\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\cos \frac{x}{8}\cdots \cos
\frac{x}{2^n}f(\frac{x}{2^{n+1}})
\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin x}{2^{n}\sin
\frac{x}{2^n}}f(\frac{x}{2^{n+1}})
\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sin x}{\frac{x}{2^{n}}}}{2^n
\frac{\sin \frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^{n}}}}f(\frac{x}{2^{n+1}})
\\&=\frac{\sin x}{x}.
\end{align*}
综上,
$$
f(x)=\begin{cases}
1,x=0\\
\frac{\sin x}{x},x\neq 0
\end{cases}
$$