叶卢庆的博客

存在射影将三个共线点映射为另外三个共线点

下面我们来证明如下射影几何中的定理:

定理:给定三个共线的点$A,B,C$($A,B,C$是不同的点),以及另外三个共线的点$A’,B’,C’$($A’,B’,C’$是不同的点),则存在一个射影,将$A,B,C$分别射影到点$A’,B’,C’$.

图1

在证明此定理之前,我们先考虑更简单的情形.当平面上只有点$A$和点$A’$的时候,当然是存在一个射影,将点$A$映射为点$A’$.当平面上有两个点$A,B$,以及另外两个点$A’,B’$时,必定首项存在一个透视$T_1:ABA’B’ \frac{O_1}{\wedge}A_1B_1A_1’B_1’$,使得$A_1,B_1,A_1’,B_1’$都位于一条直线$l_1$上.然后,如图1,选取合适的点$O_2,O_3$,使得直线$A_1O_2$与直线$A_1’O_3$交于点$A_2$,且直线$B_1O_2$与直线$B_1O_3$交于点$B_2$.则
$$T_{2}:A_1B_1A_1’B_1’ \frac{O_2}{\wedge }A_{2}B_2A_2’B_2’,T_3:A_2B_2A_2’B_2’ \frac{O_3}{\wedge} A_1’B_1’A_3’B_3’$$
可见,$(ABA’B’)T_1T_2T_3T_1^{-1}=(A_1’B_1’A_3’B_3’)T^{-1}=A’B’\Box\Box$,其中$\Box$表示对于此处来说并不重要的点,而且同一个$\Box$符号表示的并不一定是同一个点.

图2
当平面上有三个共线的点$A,B,C$,以及另外的三个共线的点$A’,B’,C’$,易得存在点$O_{1}$,满足$ABC \frac{O_{1}}{\wedge} A’B_1C_1$.其中,$A’,B_1,C_1,B’,C’$位于一条直线$l_{1}$上.然后,如图2,过点$A’$作一条直线$l_2$,选取合适的点$O_2$,使得$T_{2}:A’B_1C_1 \frac{O_2}{\wedge}A’B_2C_2$.设直线$C_2C’$与直线$l_1$交于点$O_3$,则$T_{3}:A’B_2C_2\frac{O_3}{\wedge} A’B’C’$.可见,$(ABC)T_1T_2T_{3}=(A’B’C’)$.命题得证.