叶卢庆的博客

利用圆周运动证明三角函数的求导公式

下面我们利用圆周运动证明如下两个求导公式:
$$
(\sin x)’=\cos x,(\cos x)’=-\sin x.
$$

证明:如图1.平面直角坐标系上有单位圆.单位圆上有质点在作角速度为$1~ \hbox{rad} / s$的逆时针匀速圆周运.时间$t=0~s$时,质点位于点$(1,0)$,易得时间为$t~s$时,质点在点$A(\cos t,\sin t)$.则再经过时间$\Delta t$($\Delta t>0$),质点会运动到点$A’(\cos(t+\Delta t),\sin (t+\Delta t))$.则质点在时间$[t,t+\Delta t]$里的位移是$\overrightarrow {AA’}=(\cos (t+\Delta t)-\cos t,\sin(t+\Delta t)-\sin t)$.在时间$[t,t+\Delta t]$里的平均速度为
$$
\frac{(\cos (t+\Delta t)-\cos t,\sin(t+\Delta
t)-\sin t)}{\Delta t}=\left(\frac{\cos (t+\Delta t)-\cos t}{\Delta
t},\frac{\sin (t+\Delta t)-\sin t}{\Delta t}\right) .
$$
因此质点在点$A$处的瞬时速度即为
$$
\lim_{\Delta t\to 0}\left(\frac{\cos (t+\Delta t)-\cos t}{\Delta
t},\frac{\sin (t+\Delta t)-\sin t}{\Delta t}\right) =((\cos t)’,(\sin t)’).
$$
而由圆周运动的性质,质点在点$A$处的瞬时速度是垂直于向量$\overrightarrow{OA}=(\cos t,\sin t)$的,且由于质点在单位圆上圆周运动的角速度为$1 \hbox{rad}/s$,因此瞬时速度的大小始终为$1$.因此瞬时速度等于向量$\overrightarrow{OA}$以原点为旋转中心逆时针旋转一个直角而得到的向量.可见瞬时速度为$\left(\cos(t+\frac{\pi}{2}),\sin(t+\frac{\pi}{2})\right)=(-\sin t,\cos t)$.

可见,$((\cos t)’,(\sin t)’)=(-\sin t,\cos t)$.即$(\cos t)’=-\sin t,(\sin t)’=\cos t$.这样就证明了三角函数的求导公式.