叶卢庆的博客

证明Pappus定理

Pappus定理如下:

Pappus定理:如图,$A_1,A_2,A_3$是直线$r$上的不同点,$B_1,B_2,B_3$是直线$s$上的不同点.那么$A_2B_3$与$A_3B_2$的交点$C_1$,$A_1B_3$与$A_3B_1$的交点$C_2$,$A_1B_2$与$A_2B_1$的交点$C_3$共线.

图1
证明:设直线$r$和直线$s$所在的平面是平面$\pi$.在空间取一点$O$,以$O$为投影中心,将平面$\pi$上的所有点中心投影到平面$\pi’$上.其中平面$\pi’$与平面$\pi$相交,点$O$不在任意一个平面上,且直线$OC_3,OC_2 $与平面$\pi’$平行.

设点$O,A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$分别被投影成$\pi’$平面上的点$O’,A_1’,A_2’,A_3’,B_1’,B_2’,B_3’$,则$A_1’B_2’\parallel A_2’B_1’$,$A_1’B_3’\parallel A_3’B_1’$.而$A_1’,A_2’,A_3’$仍然共线,$B_1’,B_2’,B_3’$仍然共线.我们的目的是证明,$A_3’B_2’\parallel A_2’B_3’$.

于是,Pappus定理转换为如下命题:

命题:已知平面$\pi’$上,点$A_1’,A_2’,A_3’$共线,$B_1’,B_2’,B_3’$共线.且$A’_1B’_3\parallel B’_1A’_3 $,$A’_1B’_2\parallel B’_1A’_2$.求证:$A’_2B’_3\parallel A’_3B’_2$.

图2

证明:当直线$A_1’A_2’$平行于直线$B_1’B_2’$时,容易证明$\triangle A_1’B_3’B_2’\cong \triangle B_1’A_3’A_2’$,由此得出$B_3’B_2’=A_3’A_2’$,结合$A_1’A_2’\parallel B_1’B_2’$,可得四边形$A_2’B_3’B_2’A_3’$是平行四边形,因此$A_2’B_3’\parallel A_3’B_2’$.

当$A_1’A_2’$不平行于$B_1’B_2’$时,设两直线相交于点$O’$.由于$A_1’B_2’\parallel A_2’B_1’$,因此
$$\frac{O’A_2’}{O’A_1’}=\frac{OB_1’}{OB_2’},$$
由于$A_1’B_3’\parallel A_3’B_1’$,因此
$$\frac{OA_3’}{OA_1’}=\frac{OB_1’}{OB_3’}.$$
联立上面两式可得
$$
\frac{OA_2’}{OA_3’}=\frac{OB_3’}{OB_2’},
$$
由此推出$A_2’B_3’\parallel A_3’B_2’$.$\Box$

这样我们就证明了命题.从而Pappus定理成立.