叶卢庆的博客

Desargues定理的证明

Desargues定理如下:

Desargues定理:如图1,是平面上的两个三角形,$\triangle ABC$和$\triangle A’B’C’$.其中直线$BB’$,$AA’$,$CC’$交于一点$P$.且直线$AB$与直线$A’B’$交于点$X$,直线$BC$与直线$B’C’$交于点$Y$,直线$CA$与直线$C’A’$交于点$Z$.则点$X,Y,Z$共线.

图1

证明分三步.其中第一步是将Desargues定理转化为一个更简单的命题.

第一步:将这个平面上的问题转移到空间中来考虑.如图2,设$\triangle ABC$所在的平面为平面$\alpha$.在空间里构造另外一个平面$\beta$,其中$\alpha$与$\beta$不平行.然后,在空间里选取一个点$D$,其中$D$既不在$\alpha$上又不在$\beta$上,且满足直线$DP\parallel \beta$.以点$D$为投影中心,将平面$\alpha$上的图形投影到平面$\beta$上.则点$P$将不会对应于平面$\beta$上的任意点,但是$\triangle ABC$将被投影成平面$\beta$上的$\triangle A_1B_1C_1$,$\triangle A’B’C’$将被投影成平面$\beta$上的$\triangle A_1’B_1’C_1’$.直线$PA$将被投影成直线$A_1’A_1$,$PB$将被投影成直线$B_1’B_1$,$PC$将被投影成直线$C_1’C_1$.且直线$A_1’A_1,B_1’B_1,C_1’C_1$两两互相平行.

图2

在这样的中心投影下,平面$\alpha$上的点$X,Y,Z$也分别被投影成平面$\beta$上的点$X_1,Y_1,Z_1$.且$X_1,Y_1,Z_1$分别是直线$A_1B_1$与$A_1’B_1’$,$B_1C_1$与$B_1’C_1’$,$C_1A_1$与$C_1’A_1’$的交点.

为了证明$X,Y,Z$共线,我们只用证明$X_1,Y_1,Z_1$共线即可.于是Desargues定理转化为如下命题:

命题1:如图3,是平面上的两个三角形,$\triangle A_1B_1C_1$和$\triangle A_1’B_1’C_1’$.其中直线$BB’$,$AA’$,$CC’$两两平行.且直线$AB$与直线$A’B’$交于点$X$,直线$BC$与直线$B’C’$交于点$Y$,直线$CA$与直线$C’A’$交于点$Z$.则点$X,Y,Z$共线.

图3
第二步就是来证明命题1.

第二步:设$\triangle A_1B_1C_1$所在的平面是平面$\beta$.在空间里构造另外一个平面$\gamma$,其中$\gamma$与$\beta$不平行.然后,在空间里选取一个点$E$,其中$E$既不在$\beta$上又不在$\gamma$上,且满足直线$EY_1\parallel \gamma,EZ_1\parallel \gamma$.以点$E$为投影中心,将平面$\beta$上的图形投影到平面$\gamma$上.则点$Y_1,Z_1$将不会对应于平面$\gamma$上的任意点.

对于一个$\beta$平面上,下标为$i$的点,设其被投影到$\gamma$平面上后,下标变为$i+1$.则直线$B_2C_2$会与直线$B_2’C_2’$平行,直线$A_2C_2$会与直线$A_2’C_2’$平行.而且,三条直线$A2A_2’,B_2B_2’,C_2C_2’$在平面$\gamma$上不是两两互相平行就是三条直线交于一点.

为了证明$X_1,Y_1,Z_1$共线,我们只用证明$X_2,Y_2,Z_2$共线即可.即,命题1转化成了如下命题2:

命题2:如图4,是平面上的两个三角形,$\triangle A_2B_2C_2$和$\triangle A_2’B_2’C_2’$.其中直线$BB’$,$AA’$,$CC’$两两平行或三条直线交于一点.且$B_2C_2$与$B_2’C_2’$平行,$C_2A_2$与$C_2’A_2’$也平行.则$A_2B_2$与$A_2’B_2’$平行.

图4

而命题2是显然成立的.这样我们就证明了平面上的Desargues定理.

:证完此定理后,反思,结果发现其实第一步可以免掉,直接进行第二步操作.