叶卢庆的博客

2015年四川高考三角函数大题

题目:如图,$A,B,C,D$为平面四边形$ABCD$的四个内角.

  • 证明:$$\tan\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}.$$
  • 若$A+C=180^{\circ}$,$AB=6,BC=3,CD=4,DA=5$,求$$\tan\frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$$的值.

图1
解:
$$
\tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{2\sin^2 \frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos
\frac{A}{2}}=\frac{1-\cos A}{\sin A}.
$$

解:
\begin{align*}
\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan
\frac{D}{2}&=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1-\cos B}{\sin B}+\frac{1-\cos C}{\sin C}+\frac{1-\cos D}{\sin D}
\\&=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1-\cos B}{\sin B}+\frac{1+\cos A}{\sin A}+\frac{1+\cos B}{\sin B}
\\&=\frac{2}{\sin A}+\frac{2}{\sin B}
\end{align*}
由余弦定理,
\begin{align*}
BD^2&=AD^2+AB^2-2AD\cdot AB\cos A
\\&=CD^2+CB^2-2CD\cdot CB\cos C
\\&=CD^2+CB^2+2CD\cdot CB\cos A,
\end{align*}
解得
$$
\cos A=\frac{AD^2+AB^2-CD^2-CB^2}{2(AD\cdot AB+CD\cdot CB)}=\frac{3}{7},
$$
因此$\sin A=\frac{2 \sqrt{10}}{7}$.同理可以解得$\sin B=\frac{6\sqrt{10}}{19}$.因此$\frac{2}{\sin A}+\frac{2}{\sin B}=\frac{4 \sqrt{10}}{3}$.