叶卢庆的博客

为何三句话就能说清的事要写一篇文章

偶然间看到安徽省临泉县第一中学的王峰老师写的一篇文章《是错解?是简解!》.感到此文话虽多,但是没有将关键的地方说透.文章如下:

图1
图2
图3

文章要解决的问题是,在学生当中,经常出现的一种关于数列通项公式的解法到底对不对.

问题模式:给出数列的首项和递推关系,求该数列的通项公式.

学生解法:这种解法先通过观察数列的前面若干项,猜测出数列的通项公式.然后把猜得的通项公式代入数列的递推关系,发现成立.于是这个猜得的通项公式就是数列的通项公式.

这种解法当然是对的!因为由数学归纳法,一个数列,只要其首项给定,并且递推关系确定,这个数列就是唯一确定的.设题目中的数列是$\{a_n\}$,而由学生猜测的通项公式所确定的数列是$\{b_n\}$,这两个数列的首项当然会是相等的(因为学生就是根据数列$\{a_n\}$的前面几项而猜得了通项公式),而且这两个数列满足一样的递推关系(因为学生发现数列$\{b_n\}$的通项公式满足数列$\{a_n\}$的递推关系),因此数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$其实就是相同的数列,因此$\{b_n\}$的通项公式自然也是$\{a_n\}$的通项公式!