叶卢庆的博客

2016浙江4月学考之图解法判断三角形的形状

今天学生参加2016年4月浙江学考的数学考试.考完后向学生打听题目.有一道选择题如下:

题目:已知$\triangle ABC$中,$\angle A=30^{\circ}$,$AB=3,BC=2$,请判断该三角形的形状.

此题可以用正弦定理做,不过我更喜欢作图的方法.如下:

图1
: 是钝角三角形.过点$B$作直线$AC$的垂线,垂足记为$D$.则
$$BD=BA\sin \angle A=\frac{3}{2} < BC < BA,$$
因此以$B$为圆心,$BC$的长度$2$为半径,画一个圆后,会与射线$AD$交于两点$C_1,C_2$.其中$C_2$位于线段$AD$上,$C_1$位于线段$AD$延长线上,如图1所示.$\triangle ABC$或者是$\triangle ABC_2$,或者是$\triangle ABC_1$.显然,$\angle AC_2B$是钝角,因此$\triangle ABC_2$是钝角三角形.

图2
下面,我们来证明$\triangle ABC_1$是钝角三角形.也即证明$\angle ABC_1$是钝角.如图2所示,在$AD$延长线上取点$E$,使得$\angle ABE=90^{\circ}$.易得
$$
BE=AB\tan \angle A=\sqrt{3}<BC,
$$
因此和点$E$比,点$C_1$离点$D$更远.因此$\angle ABC_1$是钝角.这样就证明了$\triangle ABC_1$是钝角三角形.

综上所述,$\triangle ABC$是钝角三角形.